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MÉMOIRE SUR LES VARIATIONS SÉCULAIRES

équations dans lesquelles on doit observer de donner au radical ${\sqrt {a_{i}}}$ le même signe qu’à $n_{i}.$

Les équations (C) de l’article précédent donneront, par la même analyse,

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\left(h_{i}^{2}+l_{i}^{2}\right)=\mathrm {const} .$

ou

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\theta _{i}^{2}=\mathrm {const} .$

Les équations (C) offrent encore les rapports suivants : si l’on multiplie la première par $m_{i}{\sqrt {a_{i}}}$ et qu’on l’intègre relativement à $i,$ on aura

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}{\frac {dh_{i}}{dt}}=\sum '\sum (l_{r}-l_{i})m_{i}{\sqrt {a_{i}}}(i,r).$

Dans la double intégrale du second membre de cette équation, un terme quelconque $(l_{r}-l_{i})m_{i}{\sqrt {a_{i}}}(i,r)$ est détruit par le terme $(l_{i}-l_{r})m_{r}{\sqrt {a_{r}}}(r,i),$ qui, avec un signe contraire, lui est égal, en vertu de l’équation

$m_{i}{\sqrt {a_{i}}}(i,r)=m_{r}{\sqrt {a_{r}}}(r,i)\,;$

on aura donc

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}{\frac {dh_{i}}{dt}}=0$

et, en intégrant par rapport à $t,$ on aura

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}h_{i}=\mathrm {const} .$

On aura pareillement

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}l_{i}=\mathrm {const} .$

Je suis parvenu à ces différentes équations dans nos Mémoires de 1784 ^[1], en les déduisant d’équations plus générales, que le principe des aires donne entre les grands axes, les excentricités et les inclinaisons des orbites, et qui sont indépendantes de la petitesse des excentricités et des inclinaisons. J’ai cru que l’on verrait avec plaisir ces mêmes équations résulter directement des équations différentielles qui déterminent les variations séculaires des orbites.

1. Voir plus haut, p. 91 et 93.