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DES ORBITES DES PLANÈTES.

III.

Les équations (B) et(C) présentent des rapports très remarquables que nous allons développer. Si l’on multiplie la première des équations (B) par $p_{i},$ et qu’on l’ajoute à la seconde multipliée par $q_{i},$ on aura

$p_{i}{\frac {dp_{i}}{dt}}+q_{i}{\frac {dq_{i}}{dt}}=\sum (q_{i}p_{r}-p_{i}q_{r}){\begin{array}{|c|}\hline i,\ r\\\hline \end{array}}.$

En multipliant les deux membres de cette équation par $m_{i}{\sqrt {a_{i}}}$ et en les intégrant par rapport au nombre variable $i,$ on aura

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\left(p_{i}{\frac {dp_{i}}{dt}}+q_{i}{\frac {dq_{i}}{dt}}\right)=\sum '\sum (q_{i}p_{r}-p_{i}q_{r})m_{i}{\sqrt {a_{i}}}{\begin{array}{|c|}\hline i,\ r\\\hline \end{array}},$

$\sum '$ étant la caractéristique des intégrales finies relatives à $i.$ Si l’on prend ces intégrales depuis $i=0$ jusqu’à $i=n-1,$ dans la somme des termes que renferme le second membre de cette équation, un terme quelconque

$(q_{i}p_{r}-p_{i}q_{r})m_{i}{\sqrt {a_{i}}}{\begin{array}{|c|}\hline i,\ r\\\hline \end{array}}$

sera détruit par le terme

$(q_{r}p_{i}-p_{r}q_{i})m_{r}{\sqrt {a_{r}}}{\begin{array}{|c|}\hline r,\ i\\\hline \end{array}}$

qui, affecté d’un signe contraire, lui est égal en vertu de la seconde des équations (A) de l’article précédent. Ce second membre se réduira donc à zéro, ce qui donne

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\left(p_{i}{\frac {dp_{i}}{dt}}+q_{i}{\frac {dq_{i}}{dt}}\right)=0,$

et, en intégrant par rapport au temps $t,$

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}\left(p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\right)=\mathrm {const} .,$

ou, à cause de $e_{1}^{2}=p_{1}^{2}+q_{1}^{2},$

$\sum 'm_{i}{\sqrt {a_{i}}}e_{i}^{2}=\mathrm {const} .,$