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MÉMOIRE SUR LES VARIATIONS SÉCULAIRES

mais on a, lorsque les planètes tournent dans le même sens,

$n_{i}={\frac {1}{\sqrt {a_{i}^{3}}}},\qquad n_{r}={\frac {1}{\sqrt {a_{r}^{3}}}}\,;$

en substituant ces valeurs de $n_{i}$ et de $n_{r}$ dans les équations précédentes, on formera les équations (A). Si les deux planètes $m_{i}$ et $m_{r}$ tournent dans des sens contraires, $n_{r}$ sera d’un signe contraire à $n_{i}\,;$ mais les équations (A) subsisteront toujours, pourvu que l’on donne aux radicaux ${\sqrt {a_{i}}}$ et ${\sqrt {a_{r}}}$ les signes de $n_{i}$ et de $n_{r}.$ Cela posé, les quantités $p_{0},q_{0},p_{1},q_{1},\ldots$ seront déterminées par les équations différentielles

(B)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dp_{i}}{dt}}=&\quad \ q_{i}\sum (i,r)-\sum q_{r}{\begin{array}{|c|}\hline i,\ r\\\hline \end{array}},\\{\frac {dq_{i}}{dt}}=&-p_{i}\sum (i,r)+\sum p_{r}{\begin{array}{|c|}\hline i,\ r\\\hline \end{array}}.\end{aligned}}\right.$

La caractéristique $\sum$ des intégrales finies se rapporte à la variable $r,$ et ces intégrales doivent être prises depuis $r=0$ jusqu’à $r=n-1\,;$ mais, comme $i$ doit être différent de $r,$ il faut rejeter des intégrales les termes dans lesquels $i=r,$ ce qui revient à supposer $(i,i)=0,\ {\begin{array}{|c|}\hline i,\ i\\\hline \end{array}}=0.$

On déterminera pareillement les quantités

$h_{0},\quad l_{0},\quad h_{1},\quad l_{1},\quad \ldots$

au moyen des équations différentielles

(C)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dh_{i}}{dt}}=&-l_{i}\sum (i,r)+\sum l_{r}(i,r),\\{\frac {dl_{i}}{dt}}=&\quad \ h_{i}\sum (i,r)-\sum l_{r}(i,r),\end{aligned}}\right.$

équations qui rentrent évidemment dans les équations (B), en changeant dans celles-ci ${\begin{array}{|c|}\hline i,\ r\\\hline \end{array}}$ dans $(i,r).$ [Voir, pour la démonstration de ces différentes équations, nos Mémoires pour l’année 1772 ^[1].]

1. Œuvres de Laplace, t. VIII, p. 462.