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DES ORBITES DES PLANÈTES.

sons de leurs orbites sur un plan fixe qui leur soit peu incliné ; $\mathrm {I_{0},I_{1},I_{2}} ,\ldots$ les longitudes de leurs nœuds ascendants sur ce plan. Soient

${\begin{alignedat}{2}e_{0}\sin \varpi _{0}=&p_{0},\qquad &e_{0}\cos \varpi _{0}=&q_{0},\\e_{1}\sin \varpi _{1}=&p_{1},\qquad &e_{1}\cos \varpi _{1}=&q_{1},\\\ldots \ldots &\ldots ,&\ldots \ldots &\ldots ,\\\theta _{0}\sin \mathrm {I} _{0}=&h_{0},\qquad &\theta _{0}\cos \mathrm {I} _{0}=&l_{0},\\\theta _{1}\sin \mathrm {I} _{1}=&h_{1},\qquad &\theta _{1}\cos \mathrm {I} _{1}=&l_{1},\\\ldots \ldots &\ldots ,&\ldots \ldots &\ldots .\end{alignedat}}$

Supposons ensuite qu’en développant la fonction

$\left(a_{i}^{2}-2a_{i}a_{r}\cos \mathrm {V} +a_{r}^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}},$

suivant les cosinus de l’angle $\mathrm {V}$ et de ses multiples, les deux premiers termes de la série soient

$(a_{i},a_{r})+(a_{i},a_{r})_{1}\cos \mathrm {V} ,$

$i$ et $r$ étant deux nombres entiers positifs, différents l’un de l’autre et susceptibles de toutes les valeurs depuis zéro jusqu’au nombre des planètes, que nous désignerons par $n.$ Enfin soit

${\begin{aligned}&{\frac {m_{r}n_{i}}{4}}a_{i}^{2}a_{r}(a_{i},a_{r})_{1}=(i,r),\\&{\frac {m_{r}n_{i}}{4}}a_{i}\left[\left(a_{i}^{2}+a_{r}^{2}\right)(a_{i},a_{r})_{1}-3a_{i}a_{r}(a_{i},a_{r})\right]={\begin{array}{|c|}\hline i,\ r\\\hline \end{array}}.\end{aligned}}$

Ces deux fonctions $(i,r)$ et ${\begin{array}{|c|}\hline i,\ r\\\hline \end{array}}$ sont telles que l’on a

(A)

$\left\{{\begin{aligned}m_{i}{\sqrt {a_{i}}}(i,r)=&m_{r}{\sqrt {a_{r}}}(r,i),\\m_{i}{\sqrt {a_{i}}}{\begin{array}{|c|}\hline i,\ r\\\hline \end{array}}=&m_{r}{\sqrt {a_{r}}}{\begin{array}{|c|}\hline r,\ i\\\hline \end{array}}.\end{aligned}}\right.$

En effet, il est visible que

$(a_{i},a_{r})=(a_{r},a_{i})$

et

$(a_{i},a_{r})_{1}=(a_{r},a_{i})_{1},$

d’où il suit que l’on a

${\frac {m_{i}(i,r)}{a_{i}n_{i}}}={\frac {m_{r}(r,i)}{a_{r}n_{r}}},\qquad {\frac {m_{i}{\begin{array}{|c|}\hline i,\ r\\\hline \end{array}}}{a_{i}n_{i}}}={\frac {m_{r}{\begin{array}{|c|}\hline r,\ i\\\hline \end{array}}}{a_{r}n_{r}}}\,;$