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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

l’année 1782, page 121 ^[1]]. Dans la supposition de $i$ nul, on trouvera, en faisant ${\sqrt {n}}=\lambda ,$

$\mathrm {B} ={\frac {4\pi u}{1+\lambda }},\qquad \mathrm {C} ={\frac {4\pi \lambda z}{1+\lambda }}\,;$

ces quantités seront donc les attractions de l’anneau sur le point $m,$ parallèlement aux axes des $u$ et des $z.$ En multipliant ces attractions respectivement par les éléments $-du$ et $-dz$ de leurs directions, en ajoutant ensuite les intégrales de ces produits, on aura

${\frac {-2\pi }{1+\lambda }}\left(u^{2}+\lambda z^{2}\right)+\mathrm {const} .$

pour l’intégrale du produit des forces attractives de l’anneau, multipliées par les éléments de leurs directions, sur un point placé à sa surface ; il faut donc substituer cette quantité au lieu de $\mathrm {V}$ dans l’équation

$\mathrm {const} .={\frac {1}{2}}gr^{2}+\mathrm {V} +{\frac {\mathrm {S} }{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}$

trouvée dans l’article précédent. Si l’on suppose, de plus, dans cette équation, $r=l-u,$ on aura, en négligeant les puissances et les produits de $u$ et de $z$ de plus de deux dimensions,

$\mathrm {const} .=\left(gl-{\frac {\mathrm {S} }{l^{2}}}\right)u+\left({\frac {2\pi }{1+\lambda }}-{\frac {\mathrm {S} }{l^{3}}}-{\frac {1}{2}}g\right)u^{2}+\left({\frac {2\pi \lambda }{1+\lambda }}+{\frac {\mathrm {S} }{2l^{3}}}\right)z^{2}\,;$

c’est l’équation de l’ellipse génératrice.

Si, dans l’équation de l’ellipsoïde

$u^{2}+iy^{2}+nz^{2}=k^{2},$

on suppose $y=0,$ on aura encore, pour l’équation de l’ellipse génératrice,

$u^{2}+\lambda ^{2}z^{2}=k^{2}.$

En la comparant avec la précédente, on aura les deux suivantes

$g={\frac {\mathrm {S} }{l^{3}}},\qquad \lambda ^{2}={\frac {{\cfrac {4\pi \lambda }{1+\lambda }}+{\cfrac {\mathrm {S} }{2l^{3}}}}{{\cfrac {4\pi }{1+\lambda }}-{\cfrac {3\mathrm {S} }{l^{3}}}}}.$

1. Œuvres de Laplace, t. X, p. 349.