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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

sances de $u$ supérieures au carré,

${\begin{aligned}\mathrm {const} .=&\mathrm {Q} +{\frac {1}{2}}gl^{2}+{\frac {\mathrm {\mathrm {S} } }{l}}-u\left(gl-{\frac {\mathrm {S} }{l^{2}}}+{\frac {d\mathrm {Q} }{dl}}\right)\\&+{\frac {1}{2}}u^{2}\left(g+{\frac {2\mathrm {S} }{l^{3}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dl^{2}}}\right)-{\frac {z^{2}}{2l}}\left[{\frac {\mathrm {S} }{l^{2}}}+{\frac {d}{dl}}\left(l{\frac {d\mathrm {Q} }{dl}}\right)\right].\end{aligned}}$

Si l’on détermine $l$ de manière que le coefficient de $u$ soit nul, on aura

${\frac {d\mathrm {Q} }{dl}}={\frac {\mathrm {S} }{l^{2}}}-gl,$

et si l’on fait, pour abréger,

${\frac {1}{2}}g+{\frac {\mathrm {S} }{l^{3}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dl^{2}}}=a,$

l’équation précédente entre $u$ et $z$ deviendra

$au^{2}+(g-a)z^{2}=k^{2},$

$k$ étant une constante. C’est l’équation de la figure génératrice de l’anneau, et il en résulte que, dans les suppositions précédentes, cette figure est une ellipse fort aplatie. Ce résultat nous conduit à examiner plus particulièrement les anneaux formés par la révolution d’une ellipse mue perpendiculairement à son plan, autour du centre de Saturne, placé sur le prolongement de son axe.

V.

L’anneau étant supposé d’une très petite largeur, relativement à sa distance au centre de Saturne, son attraction sur un point quelconque $m$ de sa surface est à fort peu près égale à celle qu’exercerait, sur un point semblablement placé à son équateur, un ellipsoïde dont le grand axe serait infini et dont l’équateur serait égal à l’ellipse génératrice de l’anneau. En effet, si l’on conçoit que l’ellipsoïde et l’anneau se pénètrent de manière que la section génératrice passant par le point $m$ et l’équateur de l’ellipsoïde se confondent, il est visible que ces deux solides se confondront sensiblement jusqu’à une distance d’autant plus considérable que l’anneau sera plus éloigné de Saturne,