En intégrant, on aura
et étant deux constantes arbitraires.
Supposons d’abord le point attiré extérieur au sphéroïde ; il est clair que, en supposant infini, doit devenir nul, ce qui donne Ainsi, relativement aux points extérieurs, l’expression de se réduit à mais, dans la supposition de infini, est évidemment égal à la masse entière du sphéroïde, divisée par la distance de son centre au point En nommant donc cette masse, on aura et, par conséquent,
La différentielle de divisée par exprime, comme on l’a vu, l’attraction du sphéroïde dirigée vers l’origine de on aura donc pour cette attraction, d’où il suit que l’action d’une sphère ou d’une couche sphérique sur un point extérieur est égale à sa masse divisée par le carré de la distance de son centre à ce point.
Si le point est placé dans l’intérieur de la couche sphérique, la constante est nulle, parce que ne devient point infini lorsque on a donc alors et par conséquent la différentielle de prise par rapport à une droite quelconque est zéro, d’où il suit qu’un point placé dans l’intérieur d’une couche sphérique est également attiré de toutes parts. Ces résultats sont bien connus des géomètres ; mais on employait, pour y parvenir, deux méthodes différentes, suivant la position du point attiré à l’extérieur ou dans l’intérieur de la couche sphérique, au lieu que l’analyse précédente renferme ces deux cas dans la même expression de en déterminant convenablement ses constantes arbitraires.
On peut imaginer l’anneau de Saturne produit par la révolution d’une figure fermée telle que l’ellipse, mue perpendiculairement à
