Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/291

nomme $\rho$ sa densité, $\rho$ étant une fonction de $x',y',z'$ indépendante de $x,y$ et $z,$ on aura

$d\mathrm {\mathrm {M} } =\rho dx'dy'dz'.$

L’action de $d\mathrm {M}$ sur $m,$ décomposée parallèlement à l’axe des $x$ et dirigée vers leur origine, sera

${\frac {\rho (x-x')dx'dy'dz'}{\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},$

et par conséquent elle sera égale à

$-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\rho dx'dy'dz'}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}\,;$

en nommant donc $\mathrm {V}$ l’intégrale

$\int {\frac {\rho dx'dy'dz'}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}$

étendue à la masse entière du sphéroïde, on aura $-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}$ pour l’action entière du sphéroïde sur le point $m,$ décomposée parallèlement à l’axe des $x$ et dirigée vers leur origine.

$\mathrm {V}$ est la somme des molécules du sphéroïde divisées par leurs distances respectives au point attiré $m\,;$ pour avoir l’attraction du sphéroïde sur ce point parallèlement à une droite quelconque, il faut donc considérer $\mathrm {V}$ comme une fonction de trois coordonnées rectangles dont l’une soit parallèle à cette droite, et différentier cette fonction relativement à cette coordonnée : le coefficient de la différentielle de la coordonnée, pris avec un signe contraire, sera la valeur de l’attraction du sphéroïde décomposée parallèlement à la droite donnée et dirigée vers l’origine de la coordonnée qui lui est parallèle.

Si l’on représente par ϐ la fonction

${\frac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}},$

on aura

$\mathrm {V} =\int {\text{ϐ}}\rho dx'dy'dz'.$