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SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

Enfin les géomètres qui se sont occupés de la théorie de la Lune, et M. d’Alembert en particulier, se sont assurés que, de la combinaison des diverses équations du mouvement lunaire, il ne peut résulter aucune équation sensible à longue période et semblable à l’inégalité de neuf cent d\mu+uit ans que j’ai trouvée dans la théorie de Jupiter et de Saturne. La valeur de $\delta v$ donnée par l’équation (E) de l’article précédent renferme donc tous les termes sensibles qui, par la théorie de la pesanteur universelle, peuvent produire une équation séculaire dans le moyen mouvement de la Lune. Examinons présentement les équations séculaires des autres éléments de l’orbite lunaire.

VII.

Reprenons l’équation

0={\frac {d^{2}r^{2}}{2dt^{2}}}-{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{a}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}},

trouvée dans l’article I, et que nous avons discutée dans l’article IV, en négligeant les carrés des excentricités des orbites. Si, dans le coefficient de $r^{2}$ de l’expression de $\mathrm {R} ,$ on ne conserve que les termes à très peu près constants, et que l’on néglige ceux de l’ordre des carrés des excentricités et des inclinaisons qui sont constants, on aura

\mathrm {R} =-{\frac {\mathrm {S} }{r'}}-{\frac {\mathrm {S} r^{2}}{4a'^{3}}}\left(1+{\frac {3}{2}}e'^{2}\right),

partant

2a\int \operatorname {d} \mathrm {R} =2g-{\frac {1}{2}}{\frac {n'^{2}}{n^{2}}}{\frac {r^{2}\left(1+{\cfrac {3}{2}}e'^{2}\right)}{a^{2}}}+{\frac {3n'^{2}}{4n^{2}}}\int r^{2}e'de',

$g$ étant une constante arbitraire ajoutée à l’intégrale $a\int \operatorname {d} \mathrm {R} ,$ et que nous avons trouvée, dans l’article IV, égale à ${\frac {7n'^{2}}{12n^{2}}}.$ Soit

r=a\left(1+{\frac {\delta a}{a}}+u\right)\,;

on aura, en négligeant le carré des forces perturbatrices, et par consé-