Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/274

260

SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

sera donc exprimée par une suite de termes de la forme

${\frac {3n'^{2}f\mathrm {A} {\text{ϐ}}dt}{4n^{2}}}\sin \left(\mathrm {Q} -{\frac {3n'^{2}t}{4n}}-ft-\lambda \right)\,;$

par conséquent $3a\int {\frac {ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} }{\sqrt {1-e^{2}}}}$ sera exprimé à fort peu près par une suite de termes de la forme

$-{\frac {4anf\mathrm {A} {\text{ϐ}}}{n'^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}\sin \left(\mathrm {Q} -{\frac {3n'^{2}t}{4n}}-ft-\lambda \right)\,;$

or ces termes sont insensibles à cause de l’extrême petitesse de $f$ relativement à $n'\,;$ ainsi la quantité $3a\int {\frac {ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} }{\sqrt {1-e^{2}}}}$ ne produit aucune inégalité séculaire sensible dans le moyen mouvement de la Lune.

Il nous reste à considérer dans l’expression de $\delta v$ la quantité ${\frac {d(r\delta r)+rd\delta r}{a^{2}ndt{\sqrt {1-e^{2}}}}},$ mais il est aisé de voir que $\delta r,$ et à plus forte raison sa différence, ne renferment point de termes sensibles de la nature de ceux que nous venons d’analyser. En n’ayant donc égard qu’à ces termes, on a

(E)

$\delta v=-{\frac {3n'}{2n}}\int n'dte'^{2}.$

VI.

Voyons maintenant si l’action directe des planètes sur la Lune produit dans l’expression de $\delta v$ des termes du même ordre et du même genre que celui que nous venons de déterminer. Les planètes, ainsi que le Soleil, ne troublent le mouvement de la Lune que par la différence de leur action sur la Terre et sur ce satellite. En désignant donc par $\mathrm {R} '$ pour une planète ce que nous avons nommé $\mathrm {R}$ pour le Soleil, $\mathrm {R} '$ sera relativement à $\mathrm {R}$ du même ordre que le rapport des masses des planètes à celle du Soleil.

On peut concevoir $\mathrm {R} '$ développé dans une suite de sinus et de cosinus d’angles croissants proportionnellement au temps, et il est