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SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

de l’expression de $\delta v$ ne peut donner aucune équation séculaire dans le mouvement de la Lune ; en n’ayant donc égard qu’aux équations de ce genre, ce terme se réduit à

V.

Examinons présentement les autres termes de l’expression de $\delta v\,;$ cette expression renferme encore le terme $3a\int {\frac {ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} }{\sqrt {1-e^{2}}}},$ qui, par son double signe intégral, paraît très propre à donner des inégalités séculaires. On a, par ce qui précède, en n’ayant égard qu’aux termes à très peu près constants,

$\operatorname {d} \mathrm {R} =-\operatorname {d} {\frac {\mathrm {S} a^{2}}{4a'^{2}}}\left[1+{\frac {3}{2}}e^{2}+{\frac {3}{2}}e'^{2}-{\frac {3}{2}}(p-p')^{2}-{\frac {3}{2}}(q-q')^{2}\right],$

la caractéristique $\operatorname {d}$ du second membre de cette équation ne se rapportant qu’aux quantités $a,e,p$ et $q$ relatives à la Lune. Les deux premières de ces quantités sont constantes, mais les deux autres sont variables, ce qui donne

$a\operatorname {d} \mathrm {R} ={\frac {3n'^{2}}{4n^{2}}}\left[dp(p-p')+dq(q-q')\right].$

Si l’on substitue, au lieu de $p$ et de $q,$ leurs valeurs trouvées dans l’article précédent, on aura

$\operatorname {d} \mathrm {R} ={\frac {3n'^{2}}{4n^{2}}}\left[dp'\sin \left(\mathrm {Q} -{\frac {3n'^{2}t}{4n}}\right)+dq'\cos \left(\mathrm {Q} -{\frac {3n'^{2}t}{4n}}\right)\right].$

On sait que les valeurs de $p'$ et de $q'$ ont cette forme

${\begin{aligned}p'=&\mathrm {A} \sin(ft+\lambda )+\mathrm {A} '\sin \,(f't+\lambda ')+\ldots ,\\q'=&\mathrm {A} \cos(ft+\lambda )+\mathrm {A} '\cos(f't+\lambda ')+\ldots ,\end{aligned}}$

$f,f',\ldots$ étant des coefficients extrêmement petits ; la différentielle $a\operatorname {d} \mathrm {R}$