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SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

sont pas multipliées par le temps $t,$ on aura

$s={\text{ϐ}}\sin \left(nt+\varepsilon +{\frac {3n'^{2}t}{4n}}-\mathrm {Q} \right)+\gamma '\sin(nt+\varepsilon -\Pi '),$

ϐ et $\mathrm {Q}$ étant deux constantes arbitraires.

On peut mettre cette expression de $s$ sous cette forme

${\begin{aligned}s=&\quad \,\left[q'+{\text{ϐ}}\cos \left(\mathrm {Q} -{\frac {3n'^{2}t}{4n}}\right)\right]\sin(nt+\varepsilon )\\&-\left[p'+{\text{ϐ}}\sin \left(\mathrm {Q} -{\frac {3n'^{2}t}{4n}}\right)\right]\cos(nt+\varepsilon )\,;\end{aligned}}$

mais, $s$ étant la latitude de la Lune au-dessus du plan fixe, on a, par ce qui précède,

$s=q\sin(nt+\varepsilon )-p\cos(nt+\varepsilon ).$

On aura donc

${\begin{aligned}p=&p'+{\text{ϐ}}\sin \left(\mathrm {Q} -{\frac {3n'^{2}t}{4n}}\right),\\q=&q'+{\text{ϐ}}\cos \left(\mathrm {Q} -{\frac {3n'^{2}t}{4n}}\right),\end{aligned}}$

ce qui donne

$(p-p')^{2}+(q-q')^{2}={\text{ϐ}}^{2}.$

$(p-p')^{2}+(q-q')^{2}$ étant le carré de l’inclinaison respective des orbites du Soleil et de la Lune, on voit que cette inclinaison est constante. La position de l’écliptique varie sans cesse, en vertu des actions des planètes, et son obliquité sur l’équateur a toujours diminué depuis les observations les plus anciennes jusqu’à nos jours ; mais l’action du Soleil ramène l’orbite lunaire à la même inclinaison sur le plan de l’écliptique, en sorte que les plus grandes et les plus petites déclinaisons de la Lune sont assujetties aux mêmes variations que celles du Soleil.

Il suit de l’analyse précédente que la partie

$-\int {\frac {n'^{2}dt}{n}}\left[2e^{2}-{\frac {3}{2}}(p-p')^{2}-{\frac {3}{2}}(q-q')^{2}\right]$

du terme

$2a\int ndt{\frac {x{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}}{\sqrt {1-e^{2}}}}$