Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/271

257

SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

jours, à très peu près, constante et ne participe point sensiblement aux variations de l’orbite du Soleil.

Considérons maintenant la variation de l’inclinaison de l’orbite de la Lune : reprenons pour cela la dernière des équations (A) de l’article I,

$0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{r^{3}}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.$

En substituant pour $\mathrm {R}$ sa valeur

$-{\frac {\mathrm {S} }{r'}}+{\frac {\mathrm {S} }{2r'^{2}}}\left[r^{2}-{\frac {3(xx'+yy'+zz')^{2}}{r'^{2}}}\right]$

et en négligeant les cubes et les produits de trois dimensions de $z$ et de $z',$ on aura

$0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {S} z}{r'^{3}}}-{\frac {3\mathrm {S} z'(xx'+yy')}{r'^{5}}}.$

Soient $z=as,\ z'=a's'\,;$ en substituant dans l’équation précédente ces valeurs, $a+\delta a$ au lieu de $r,$ et $a'$ au lieu de $r',$ elle deviendra

$0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {s}{a^{3}}}\left(1-{\frac {3\delta a}{a}}+{\frac {\mathrm {S} a^{3}}{a'^{3}}}\right)-{\frac {3\mathrm {S} }{a'^{3}}}s'\cos(v'-v).$

On a, par ce qui précède,

${\frac {\delta a}{a}}=-{\frac {n'^{2}}{6n^{2}}}\,;$

de plus, $s'$ étant la latitude du Soleil au-dessus du plan fixe, on a

$s'=\gamma '\sin(v'-\Pi ').$

On aura donc, en ne conservant que le terme dépendant de l’angle $nt+\varepsilon ,$

$0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+n^{2}s\left(1+{\frac {3n'^{2}}{2n^{2}}}\right)-{\frac {3\gamma '}{2}}n'^{2}\sin(nt+\varepsilon -\Pi ').$

En intégrant cette équation et en observant que les valeurs de ${\frac {d\gamma '}{dt}}$ et de ${\frac {d\Pi '}{dt}}$ sont insensibles, et qu’ainsi on peut les négliger lorsqu’elles ne