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SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

ment de la Lune. Quant à la partie

$-\int {\frac {n'^{2}dt}{n}}\left[2e^{2}-{\frac {3}{2}}(p-p')^{2}-{\frac {3}{2}}(q-q')^{2}\right],$

pour voir si elle doit produire des inégalités séculaires dans l’expression de $\delta v,$ il faut déterminer les valeurs de $e,p-p'$ et $q-q'.$

IV.

Pour cela, je reprends l’équation

$0={\frac {d^{2}r^{2}}{2dt^{2}}}-{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{a}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}$

trouvée dans l’article I ; si l’on y suppose

$r=a\left(1+{\frac {\delta a}{a}}+u\right),$

$u$ étant une très petite quantité périodique dont je négligerai le carré et les puissances supérieures ; on aura, en ne conservant que les termes constants et ceux dans lesquels $u$ est multiplié par des constantes, et en substituant pour $\mathrm {R}$ sa valeur précédente,

$0=\left(1+{\frac {\delta a}{a}}\right){\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {u}{a^{3}}}\left(1-{\frac {2\delta a}{a}}-{\frac {2\mathrm {S} a^{3}}{a'^{3}}}\right)+{\frac {\delta a}{a^{4}}}+{\frac {2g}{a^{3}}}-{\frac {\mathrm {S} }{a'^{3}}},$

${\frac {g}{a}}$ étant une constante arbitraire ajoutée à l’intégrale $\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$

Maintenant, si l’on différentie l’équation (D) de l’article I et que l’on ne conserve que les termes constants, on aura, en négligeant le carré des excentricités des orbites,

${\frac {d\delta v}{dt}}=3ng-{\frac {7n'^{2}}{4n}}\,;$

mais $nt$ représente, par la supposition, le moyen mouvement de la Lune ; il faut donc que cette valeur de ${\frac {d\delta v}{dt}}$ soit nulle, ce qui déter-