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SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

On aura donc, en ne conservant que les quantités à très peu près constantes,

$x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}$

$=-{\frac {\mathrm {S} a^{2}}{2a'^{3}}}\left[1+{\frac {3}{2}}e^{2}+{\frac {3}{2}}e'^{2}-{\frac {3}{2}}(p-p')^{2}-{\frac {3}{2}}(q-q')^{2}\right]\,;$

or on a

$n^{2}={\frac {1}{a^{3}}}\left(1-e^{2}\right)\qquad {\text{et}}\qquad n'^{2}={\frac {\mathrm {S} }{a'^{3}}}.$

Le terme

$2a\int ndt{\frac {x{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}}{\sqrt {1-e^{2}}}}$

de l’expression de $\delta v$ donnera donc celui-ci

$-\int {\frac {n'^{2}dt}{n}}\left[1+2e^{2}+{\frac {3}{2}}e'^{2}-{\frac {3}{2}}(p-p')^{2}-{\frac {3}{2}}(q-q')^{2}\right].$

On sait que, en vertu de l’action des planètes, le demi grand axe de l’orbite solaire est constant, mais son excentricité varie sans cesse, ainsi que son inclinaison et la position de ses noeuds et de son apogée ; on doit donc regarder $n'$ comme constant et supposer $e',p'$ et $q'$ variables. On peut encore, dans le terme précédent, supposer $n$ constant ; car, quoique cette quantité puisse être considérée ici comme variable, à raison de l’équation séculaire du mouvement de la Lune, cependant, comme sa variation est multipliée dans ce terme par la force perturbatrice du Soleil, il est visible que l’équation séculaire qui en résulte dans le mouvement de la Lune est, par rapport à l’équation séculaire de ce mouvement, de l’ordre des forces perturbatrices, et qu’ainsi elle peut être négligée. La parti $-\int {\frac {n'^{2}dt}{n}}$ du terme précédent se réduit ainsi à $-{\frac {n'^{2}t}{n}},$ et par conséquent elle se confond avec le moyen mouvement de la Lune. La partie $-{\frac {3}{2}}\int {\frac {n'^{2}dte'^{2}}{n}}$ du même terme se réduit à $-{\frac {3n'}{2n}}\int n'dte'^{2},$ et, à cause de la variabilité de $e',$ il doit en résulter une équation séculaire dans le mouve-