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SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

que ceux qui sont constants, les seuls dont nous aurons besoin dans la suite,

$(xx'+yy'+zz')$

$={\frac {r^{2}r'^{2}}{2}}\left[1-\cos(2v-2v')-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}-{\frac {1}{2}}\gamma '^{2}+\gamma \gamma '\cos(\Pi -\Pi ')\right].$

Soient

$\gamma \sin \Pi =p,\quad \gamma \cos \Pi =q,\quad \gamma '\sin \Pi '=p',\quad \gamma '\cos \Pi '=q',$

on aura

$\gamma ^{2}-2\gamma \gamma '\cos(\Pi -\Pi ')+\gamma '^{2}=(p-p')^{2}+(q-q')^{2}\,;$

l’expression précédente de $\mathrm {R}$ deviendra ainsi

$\mathrm {R} =-{\frac {\mathrm {S} }{r'}}-{\frac {\mathrm {S} r^{2}}{4r'^{3}}}\left[1+3\cos(2v-2v')-{\frac {3}{2}}(p-p')^{2}-{\frac {3}{2}}(q-q')^{2}\right].$

III.

Considérons maintenant les différents termes de l’expression de $\delta v$ donnée par l’équation (D) de l’article I, et commençons par celui-ci

$2a\int ndt{\frac {x{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}}{\sqrt {1-e^{2}}}}.$

On a

$x{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}$

$=r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=-{\frac {\mathrm {S} r^{2}}{2r'^{3}}}\left[1+3\cos(2v-2v')-{\frac {3}{2}}(p-p')^{2}-{\frac {3}{2}}(q-q')^{2}\right].$

Soient $nt+\varepsilon$ la longitude moyenne de la Lune, comptée de l’axe des $x\,;\ \varpi$ la longitude de son aphélie, $a$ et $e$ étant comme ci-dessus le demi grand axe et l’excentricité de son orbite ; soient $n't+\varepsilon ',a',e'$ les mêmes quantités relativement au Soleil, on aura

${\begin{aligned}r\ =&a\ \left[1+{\frac {1}{2}}e^{2}\ +e\ \cos(n\ t+\varepsilon \ -\varpi \ )+\ldots \right],\\r'=&a'\left[1+{\frac {1}{2}}e'^{2}+e'\cos(n't+\varepsilon '-\varpi ')+\ldots \right].\end{aligned}}$