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SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

II.

Reprenons maintenant la valeur de $\mathrm {R} \,;$ en la réduisant en série on aura

$\mathrm {R} =-{\frac {\mathrm {S} }{r'}}+{\frac {\mathrm {S} }{2r'^{3}}}\left[r^{2}-{\frac {3(xx'+yy'+zz')^{2}}{r'^{2}}}+\ldots \right]$

$r'$ étant considérablement plus grand que $r,$ on peut s’en tenir à ces termes de la série. Prenons pour plan fixe des $x$ et des $y$ un plan très peu incliné à celui de l’écliptique ; soient $\gamma$ la tangente de l’inclinaison de l’orbite lunaire sur ce plan, $\Pi$ la longitude de son nœud ascendant ; soient $\gamma '$ et $\Pi '$ les mêmes quantités relativement au Soleil ; soit de plus $v$ la longitude de la Lune, comptée sur son orbite en partant du rayon vecteur dont l’axe des $x$ est la projection sur le plan des $x$ et des $y\,;$ soit $v_{1}$ cette même longitude rapportée à ce dernier plan et comptée de l’axe des $x\,;$ nommons $v'$ et $v'_{1}$ les mêmes quantités relativement au Soleil, on aura, en négligeant les quatrièmes puissances de $\gamma$ et de $\gamma ',$

${\begin{aligned}v_{1}\ =&v\ -{\frac {\gamma ^{2}}{4}}\ \sin 2\Pi \ -{\frac {\gamma ^{2}}{4}}\ \sin(2v-2\Pi ),\\v'_{1}=&v'-{\frac {\gamma '^{2}}{4}}\sin 2\Pi '-{\frac {\gamma '^{2}}{4}}\sin(2v'-2\Pi ').\end{aligned}}$

Si l’on nomme $s$ la latitude de la Lune au-dessus du plan fixe et s'celle du Soleil, on aura à très peu près

$s=\gamma \sin(v-\Pi ),\qquad s'=\gamma '\sin(v'-\Pi ')\,;$

on aura de plus

${\begin{alignedat}{3}x\ =&r\ {\sqrt {1-s^{2}}}\ \cos v_{1},&y\ =&r\ {\sqrt {1-s^{2}}}\ \sin v_{1},&z\ =&rs,\\x'=&r'{\sqrt {1-s'^{2}}}\cos v'_{1},\qquad &y'=&r'{\sqrt {1-s'^{2}}}\sin v'_{1},\qquad &z'=&r's',\end{alignedat}}$

partant

$xx'+yy'+zz'=rr'\left(1-{\frac {1}{2}}s^{2}-{\frac {1}{2}}s'^{2}\right)\cos \left(v_{1}-v'_{1}\right)+rr'ss'\,;$

on aura donc, en ne conservant parmi les termes de l’ordre $\gamma ^{2}$ et $\gamma '^{2}$