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SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

ce qui donne

(C)

0={\frac {rd^{2}r-r^{2}dv^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r}}+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.

Supposons que, par l’action du Soleil, $dv$ augmente de $d\delta v\,;$ cette équation donnera, en négligeant le carré des forces perturbatrices,

0={\frac {rd^{2}\delta r+\delta rd^{2}r-2r\delta rdv^{2}-2r^{2}dvd\delta v}{dt^{2}}}-{\frac {\delta r}{r^{2}}}+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.

Mais on a, dans l’hypothèse elliptique,

r^{2}dv=dt{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}},

$e$ étant l’excentricité de l’orbite lunaire ; de plus, si l’on fait $\mathrm {R} =0$ dans l’équation (C), elle donnera

{\frac {rdv^{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\,;

on aura donc

0={\frac {rd^{2}\delta r-\delta rd^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {3r\delta r}{r^{3}}}-{\frac {2d\delta v}{dt}}{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.

Si l’on substitue au lieu de ${\frac {r\delta r}{r^{3}}}$ sa valeur tirée de l’équation (B), on aura

{\begin{aligned}{\frac {2d\delta v}{dt}}{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}=&{\frac {d(rd\delta r-\delta rdr)}{dt^{2}}}+{\frac {3d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}\\&+6\int \operatorname {d} \mathrm {R} +4\left(+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right).\end{aligned}}

Soit $nt$ le moyen mouvement sidéral de la Lune, on aura $n^{2}={\frac {a^{3}}{1}}\,;$ l’équation précédente donnera donc, en l’intégrant,

(D)

\left\{{\begin{aligned}\delta v=&{\frac {d(r\delta r)+rd\delta r}{a^{2}ndt{\sqrt {1-e^{2}}}}}+3a\int {\frac {ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} }{\sqrt {1-e^{2}}}}\\&+2a\int ndt{\frac {x{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}}{\sqrt {1-e^{2}}}}.\end{aligned}}\right.