Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/264

250

SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

$a$ étant une constante arbitraire qui, comme l’on sait, est le demi grand axe de l’ellipse que la Lune décrirait sans la force perturbatrice du Soleil.

En ajoutant l’intégrale précédente à la somme des équations (A) multipliées respectivement par $x,y,z,$ on aura l’équation différentielle

$0={\frac {xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{a}}$

$+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\,;$

mais on a

$xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}={\frac {1}{2}}d^{2}r^{2},$

partant

$0={\frac {d^{2}r^{2}}{2dt^{2}}}-{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{a}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\,;$

Si l’on intègre cette équation dans la supposition de $\mathrm {R} =0,$ on aura la valeur de $r$ relative au mouvement elliptique de la Lune. Soit $\delta r$ la partie de $r$ due à l’action du Soleil ; en substituant au lieu de $r,$ dans l’équation précédente, $r+\delta r,\ r$ étant ici la partie du rayon vecteur relative au mouvement elliptique, on aura, en négligeant le carré des forces perturbatrices,

(B)

$0={\frac {d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}+{\frac {r\delta r}{r^{3}}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.$

La somme des trois équations différentielles (A), multipliées respectivement par $x,y,z,$ donne

$0={\frac {xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r}}+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.$

Soit $dv$ l’angle infiniment petit intercepté entre les deux rayons $r$ et $r+dr,$ on aura

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=dr^{2}+r^{2}dv^{2},$

partant

$xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z=d(rdr)-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=rd^{2}r-r^{2}dv^{2},$