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SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

peut être détruite que par des causes étrangères ; et nous sommes certains que leur action est insensible depuis les observations les plus anciennes jusqu’à nos jours. Cette stabilité du système du monde, qui en assure la durée, est un des phénomènes les plus dignes d’attention, en ce qu’il nous montre dans le ciel, pour maintenir l’ordre de l’univers, les mêmes vues que la nature a si admirablement suivies sur la Terre pour conserver les individus et perpétuer les espèces.

I.

Soient $x,y,z$ les trois coordonnées de la Lune, rapportées au centre de la Terre ; $x',y',z'$ celles du Soleil, rapportées au même point ; soient de plus

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\qquad r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\,;$

nommons $\mathrm {S}$ la masse du Soleil et $\mathrm {R}$ la quantité

${\frac {\mathrm {S} (xx'+yy'+zz')}{r'^{3}}}-{\frac {\mathrm {S} }{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}\,;$

enfin représentons par l’unité la somme des masses de la Terre et de la Lune, et par $dt$ l’élément du temps supposé constant : nous aurons les trois équations différentielles suivantes :

(A)

$\left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{r^{3}}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}},\\0=&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{r^{3}}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}},\\0=&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{r^{3}}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.\end{aligned}}\right.$

Si l’on multiplie la première de ces équations par $dx,$ la seconde par $dy,$ la troisième par $dz$ qu’en suite on les ajoute et que l’on désigne par la caractéristique $\operatorname {d}$ la différentielle prise par rapport aux seules coordonnées $x,y,z,$ on aura, après avoir intégré,

$0={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2}{r}}+{\frac {1}{a}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} ,$