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MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.

La propriété du centre de gravité où nous fixons l’origine des rayons donne les trois équations suivantes, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

${\begin{aligned}0=&\iiint \rho \mu d\mu d\varpi d\left[a^{4}(1+4\alpha y)\right],\\0=&\iiint \rho {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d\mu d\varpi d\left[a^{4}(1+4\alpha y)\right],\\0=&\iiint \rho {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d\mu d\varpi d\left[a^{4}(1+4\alpha y)\right],\end{aligned}}$

les troisièmes différentielles étant relatives à la variable $a,$ et les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=1,$ depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1,$ et depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =360^{\circ }\,;$ ces trois équations donneront ainsi, en y substituant au lieu de $y$ sa valeur $\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}} +\ldots ,$

${\begin{aligned}0=&\iiint \rho \mu d\mu d\varpi d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(0)}+a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}+a^{4}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right),\\0=&\iiint \rho {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d\mu d\varpi d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(0)}+a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}+a^{4}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right),\\0=&\iiint \rho {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d\mu d\varpi d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(0)}+a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}+a^{4}\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right).\end{aligned}}$

Pour exécuter ces intégrations, je vais rappeler ici un théorème général que j’ai démontré dans l’Ouvrage cité.

Si $\mathrm {Y} ^{(i)}$ et $\mathrm {U} ^{(i')}$ sont deux fonctions rationnelles et entières de $\mu ,$${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$ qui satisfont aux équations à différences partielles

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)},\\0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i'(i'+1)\mathrm {U} ^{(i')},\end{aligned}}$

on aura, lorsque les nombres $i$ et $i'$ sont différents,

$0=\iint \mathrm {Y} ^{(i)}\mathrm {U} ^{(i')}d\mu d\varpi ,$

les intégrales étant prises depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1,$ et depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =360^{\circ }.$

Il suit de là que, $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ étant de la