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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

les coordonnées de Jupiter dans celles de Saturne, et réciproquement ; si l’on n’a égard qu’à la considération précédente, on pourra négliger, dans cette équation, les termes $2\int \operatorname {d} '\mathrm {R}$ et $r'{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r'}},$ ce qui la réduit à celle-ci

$0={\frac {d^{2}(r'\delta r')}{dt^{2}}}+{\frac {n'^{2}a'^{3}}{r'^{3}}}r'\delta r'.$

Si l’on ne considère dans $m\delta r'$ que la partie qui dépend de l’angle $nt-2n't+\varepsilon -\varepsilon ',$ et qui, par l’article XXXIV, est égale à

$0{,}0053605\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+77^{\circ }50'46''),$

on aura, en ne conservant que le terme qui dépend de l’angle $nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ',$

${\begin{aligned}0=&{\frac {md^{2}(r'\delta r')}{a'^{2}dt^{2}}}+{\frac {n'^{2}mr'\delta r'}{a'^{2}}}\\&-{\frac {n'^{2}e'}{a'}}0{,}0053605\sin(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon '-\varpi '+77^{\circ }50'46''),\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\frac {mr'\delta r'}{a'^{2}}}=$

${\frac {-n'^{2}}{n(n-2n')}}{\frac {e'}{a'}}0{,}0053605\sin(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon '-\varpi '+77^{\circ }50'46'').$

Si l’on substitue cette valeur dans la formule (9) de l’article VII, rapportée à Saturne, et que l’on néglige les quantités

$3a'\int ndt\int \operatorname {d} '\mathrm {R} \qquad {\text{et}}\qquad 2a'\int n'dtr'{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r'}},$

pour n’avoir égard qu’à ce qui dépend de la considération que nous venons de faire, on aura

$m\delta v'_{1}=-\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {2n'(n-n')}{n(n-2n')}}\right]$

$\times {\frac {e'}{a'}}0{,}0053605\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon '-\varpi '+77^{\circ }50'46'')\,;$

or, on a, à fort peu près, $n={\frac {5}{2}}n',$ partant

$m\delta v'_{1}=-18''{,}9\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon '-\varpi '+77^{\circ }50'46'').$

En réunissant cette inégalité à celle-ci

$+3''{,}5\sin(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon '),$