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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

centrique de Saturne rapportée à son orbite, et son rayon vecteur à un instant quelconque.

On calculera d’abord les longitudes moyennes $nt+\varepsilon$ et $n't+\varepsilon '$ de Jupiter et de Saturne pour cet instant, ces longitudes étant comptées de l’équinoxe fixe de 1750 ; en ajoutant ensuite à $n't+\varepsilon '$ le terme

$-\left(48'44''-i.0''{,}10836\right)\sin \left(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon +5^{\circ }40'-i.63''{,}134\right),$

on formera un angle que je désignerai par $\varphi '.$

On calculera $\varpi '$ en ajoutant à la longitude moyenne de l’aphélie de Saturne, pour 1750, la quantité $i.15''{,}81975\,;$ on calculera pareillement l’excentricité $e',$ en ajoutant à sa valeur relative à 1750, et réduite en secondes de degré, la quantité $-i.0''{,}55065.$

Cela posé, on déterminera l’angle $\mathrm {X} '$ au moyen de l’équation

$\varphi '-\varpi '=\mathrm {X} '+e'\sin \mathrm {X} ',$

et l’angle $\mathrm {Y} '$ au moyen de l’équation

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {Y} '={\sqrt {\frac {1-e'}{1+e'}}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {X} ',$

$e'$ étant ici réduit en parties du rayon. La longitude héliocentrique $v'_{1}$ de Saturne, rapportée à son orbite et comptée de l’équinoxe fixe de 1750, sera

${\begin{aligned}v'_{1}=&\mathrm {Y} '+\varpi '-31''\sin 2(nt-n't+\varepsilon '-\varepsilon )\\&+\left(6'59''{,}3+i.0''{,}0168\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times \sin \left(2n't-nt+2\varepsilon '-\varepsilon +15^{\circ }0'57''-i.14''{,}215\right)\\&-35''\cos(2nt-3n't+2\varepsilon -3\varepsilon '+27^{\circ }30')+11''\cos(nt+\varepsilon )\\&-(10'13''-i.0''{,}0160698)\sin(2nt-4n't+2\varepsilon -4\varepsilon '\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +55^{\circ }52'19''+i.42''{,}8834)\,;\end{aligned}}$

le rayon vecteur $r'$ sera

${\begin{aligned}r'=&a'(1+e'cos\mathrm {X} ')+0{,}0039047\\&+0{,}0081435\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')\\&+0{,}0053605\sin \left(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+77^{\circ }50'46''\right)\\&+0{,}0141527\cos \left(2nt-4n't+2\varepsilon -4\varepsilon '+55^{\circ }52'19''+i.42''{,}8834\right)\end{aligned}}$