Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/185

171

THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

XXXIII.

Pour avoir les inégalités dépendantes des excentricités des orbites, nous reprendrons les valeurs de $u_{1}$ et de $\mathrm {V} ,$ de l’article X, en y changeant $a$ et $n$ dans $a'$ et $n',$ et réciproquement, et en y supposant successivement $i=-1,\ i=-2,\ i=-3,\ldots ,i=1,\ i=2,\ldots .$ On trouvera d’abord, par l’article cité,

${\begin{aligned}\mathrm {D} ^{(-1)}=&{\frac {3n'}{n-n'}}a'\mathrm {A} ^{(1)}-\left[3+{\frac {(n-n')n}{n'^{2}}}\right]\mathrm {Q} +{\frac {1}{2}}a'^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a'^{2}}}\\=&{\frac {3n'}{(n-n')\alpha ^{2}}}-{\frac {3n'}{n-n'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}-\left[3+{\frac {(n-n')n}{n'^{2}}}\right]\mathrm {Q} \\&-b_{\frac {1}{2}}^{(1)}-2\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha }}--{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha ^{2}}},\end{aligned}}$

$\mathrm {Q}$ étant le coefficient de $\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')$ dans la partie de l’expression de ${\frac {\delta r'}{a'}}$ qui est indépendante des excentricités. En réduisant en nombres cette valeur de $\mathrm {D} ^{(-1)},$ on aura

$\mathrm {D} ^{(-1)}=-3{,}154598.$

On trouvera ensuite

${\begin{aligned}\mathrm {E} ^{(-1)}=-{\frac {2n'}{(n-n')\alpha ^{2}}}+{\frac {2n'}{n-n'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}&+\left(3+{\frac {n}{2n'}}\right)\mathrm {Q} \\&+{\frac {2n'^{2}\mathrm {D} ^{(-1)}}{(n-n')(3n'-n)}}=-8{,}068078.\end{aligned}}$

En ne considérant donc, dans les expressions de $u,$ et de $\mathrm {V} _{1},$ que les termes dépendants de l’angle $nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '$ et multipliés par $h'$ et $l',$ et en substituant, au lieu de $h'$ et de $l',$ leurs valeurs $e'\sin \varpi '$ et $e'\cos \varpi ',$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {\delta r'}{a'}}=&\quad \ \ \,4{,}116009e'\cos(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+\varpi '),\\\delta v'_{1}=&-16{,}69873\ \ e'\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+\varpi ').\end{aligned}}$