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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

or on a, par l’article XV,

$\mathrm {A} ^{(1)}={\frac {a'}{a^{2}}}-{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)},$

${\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a'}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{a'^{2}}}\left(b_{\frac {1}{2}}^{(1)}+\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha }}\right)\,;$

on aura donc

${\frac {\delta r'}{a'}}={\frac {n'^{2}}{n(n-2n')}}$

$\times \left[{\frac {n-3n'}{(n-n')\alpha ^{2}}}+{\frac {n+n'}{n-n'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}+\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha }}\right]\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ').$

L’article XXIX donne

${\frac {n'}{n}}={\frac {12^{\circ }12'46''{,}5}{30^{\circ }19'42''}}=0{,}402690\,;$

on aura ainsi

${\frac {\delta r'}{a'}}=0{,}910968\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ').$

Si, dans l’expression de $\mathrm {V} ,$ on change $a$ et $n$ dans $a'$ et $n',$ et réciproquement, le coefficient de $\sin(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')$ sera égal à ${\frac {n'^{2}a'\mathrm {A} ^{(1)}}{(n-n')^{2}}},$ moins le produit de ${\frac {2n'}{n-n'}}$ par le coefficient de $\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')$ dans l’expression de ${\frac {\delta r'}{a'}},$ ce qui donne, en n’ayant égard qu’à ce sinus,

$\delta v'_{1}=0{,}018942\sin(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ').$

On trouvera de cette manière, en ne considérant que les inégalités indépendantes des excentricités et des inclinaisons des orbites,

${\begin{aligned}{\frac {\delta r'}{a'}}=&\quad \ 0,436805\\&+0{,}910968\ \ \cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')\\&+0{,}154714\cos 2(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')\\&+0{,}035774\cos 3(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\\\delta v'_{1}=&\quad \ 0{,}018942\ \ \sin(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')\\&-0{,}162820\sin 2(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')\\&-0{,}033939\sin 3(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$