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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

On pourra, sans erreur sensible, étendre ces valeurs aux observations les plus anciennes ; leur peu d’influence sur les inégalités de Saturne rendrait une plus grande précision tout à fait inutile.

XXXII.

Considérons présentement les inégalités périodiques du mouvement de Saturne, et d’abord celles qui sont indépendantes des excentricités et des inclinaisons des orbites. Pour cela, nous reprendrons les valeurs de $u$ et de $\mathrm {V}$ de l’article IX, en y changeant $a$ et $n$ dans $a'$ et $n',$ et réciproquement ; nous y supposerons ensuite $i$ positif, ce qui revient à doubler les termes compris sous le signe $\sum .$

Cela posé, on aura, en n’ayant égard qu’au terme constant de l’expression de $u,$

${\frac {\delta r'}{a'}}={\frac {1}{6}}a'^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a'}}\,;$

mais on a, par l’article XV,

$a'^{2}{\frac {\partial \mathrm {\mathrm {A} } ^{(0)}}{\partial a'}}=-\mathrm {A} ^{(0)}-a{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a}}={\frac {1}{a'}}\left(b_{\frac {1}{2}}^{(0)}+\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }}\right),$

partant

${\frac {\delta r'}{a'}}={\frac {1}{6}}\left(b_{\frac {1}{2}}^{(0)}+\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }}\right).$

En substituant, au lieu de $\alpha ,b_{\frac {1}{2}}^{(0)}$ et ${\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }},$ leurs valeurs données dans l’article XXX, on aura

${\frac {\delta r'}{a'}}=0{,}436805.$

Si l’on n’a égard qu’à l’angle $nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ',$ l’expression de $u$ donnera

${\frac {\delta r'}{a'}}={\frac {n'^{2}}{(n-n')^{2}-n'^{2}}}\left[a'^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a'}}+{\frac {2n'a'\mathrm {A} ^{(1)}}{n'-n}}\right]\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ')\,;$