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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

stant, on aura encore, dans le cas où l’orbite de Jupiter est elliptique,

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \varepsilon }}.$

En substituant donc, au lieu de $\mathrm {R} ,$ la partie de sa valeur qui dépend de l’angle $5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon ,$ et dont nous avons donné l’expression dans l’article précédent, on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}=&\quad \ 2\mathrm {M} ^{(0)}e'^{3}\ \ \sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -3\varpi ')\\&+3\mathrm {M} ^{(1)}e'^{2}e\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -2\varpi '-\ \ \varpi )\\&+4\mathrm {M} ^{(2)}e'e^{2}\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\ \,\varpi '-2\varpi )\\&+5\mathrm {M} ^{(3)}e^{3}\ \ \ \sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -3\varpi )\\&+2\mathrm {M} ^{(4)}e'\gamma ^{2}\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -2\Pi -\varpi ')\\&+3\mathrm {M} ^{(5)}e\ \gamma ^{2}\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -2\Pi -\varpi )\end{aligned}}$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}a\int \left(\operatorname {d} \mathrm {R} -ndt{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}\right)={\frac {nea}{5n'-2n}}&{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial e}}\\={\frac {nea}{5n'-2n}}&\left[\quad \ {\frac {\partial k}{\partial e}}\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\right.\\&\left.\ \,-{\frac {\partial k'}{\partial e}}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\right].\end{aligned}}$

De là, il est aisé de conclure

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {na}{5n'-2n}}\left({\frac {\partial k}{\partial e}}\cos \varpi +{\frac {\partial k'}{\partial e}}\sin \varpi \right),\\\mathrm {Q} =&{\frac {na}{5n'-2n}}\left({\frac {\partial k'}{\partial e}}\cos \varpi -{\frac {\partial k}{\partial e}}\sin \varpi \right).\end{aligned}}$

On aura la partie de $\delta v$ qui dépend de l’angle $3nt-5n't+3\varepsilon -5\varepsilon '$ au moyen de la formule (9) de l’article VII ; en observant que, si l’on n’a égard qu’aux termes du second ordre dépendants de cet angle et qui ont en même temps $5n'-2n$ pour diviseur, cette formule donne à très peu près

$\delta v={\frac {2rd\delta r}{a^{2}ndt}}\,;$