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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

d’où l’on tire

${\frac {d\delta v}{dt}}=-{\frac {2c\delta r}{r^{3}}}-{\frac {\int dt{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}}{r^{2}}}\,;$

or on a

$c={\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}},$

et, si l’on ne considère que les termes dépendants de l’angle $5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon ,$ qui ont pour diviseur $5n'-2n,$ on a, par l’article XXI,

${\frac {d\delta v}{dt}}=3an\int \operatorname {d} \mathrm {R} \,;$

on aura donc, à très peu près, en ne considérant que les termes qui dépendent du même angle et qui ont le même diviseur,

${\begin{aligned}3a\int \operatorname {d} \mathrm {R} =-{\frac {2\rho }{a^{2}}}&-3e\mathrm {P} \sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi )\\&+3e\mathrm {Q} \cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi )-a\int ndt{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}.\end{aligned}}$

Cette équation, comparée à celle que nous avons trouvée ci-dessus entre les mêmes quantités $\rho ,\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ donne

${\begin{aligned}e\mathrm {P} \sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi )&\\-e\mathrm {Q} \cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi )&=a\int \left(\operatorname {d} \mathrm {R} -ndt{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}\right).\end{aligned}}$

Pour avoir ${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}},$ nous observerons que $\mathrm {R}$ est fonction de $v'-v,r,r'$ et $s',$ et, comme dans la supposition de l’orbite circulaire de Jupiter $r$ est constant et $v=nt+\varepsilon ,$ on aura, dans cette supposition,

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \varepsilon }}.$

Cette équation n’a plus lieu lorsque l’orbite de Jupiter est elliptique, parce que l’ellipticité introduit l’angle $\varepsilon$ dans $r$ et dans $v\,;$ mais on voit par les expressions elliptiques de $r$ et de $v,$ données dans l’article précédent, que $\varepsilon$ est toujours accompagné de $-\varpi$ dans ce qui a rapport à l’ellipticité, d’où il suit que, pourvu que l’on suppose $\varepsilon -\varpi$ con-