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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.
ayant, comme on vient de le voir,
pour diviseur. Si, dans l’équation (10) de l’article VII, on n’a égard qu’aux termes dépendants de l’angle
et qui ont en même temps
pour diviseur, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {\rho }{a^{2}}}&+e\mathrm {P} \sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi )\\&+e\mathrm {Q} \cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi )+2a\int \operatorname {d} \mathrm {R} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d962e1d29384047b65735dd39c4b53cff805c1b)
pourvu que, dans l’intégrale
on ne conserve que les termes qui dépendent de l’angle
Cette équation ne suffit pas pour déterminer les quantités
et
mais on peut en avoir une seconde entre les mêmes quantités, de cette manière.
Si l’on multiplie la première des équations (A) de l’article I par
la seconde par
et qu’en suite on les ajoute, l’intégrale de leur somme sera
![{\displaystyle {\frac {xdy-ydx}{dt}}=c+m'\int dt\left({\frac {x'y-y'x}{r'^{3}}}-y{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+x{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a21991faafd25c4a09f4a0f55d6fd9d36045a049)
et si, comme nous l’avons fait précédemment, on prend pour le plan fixe des
et des
celui de l’orbite primitive de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x'y-y'x}{r'^{3}}}-y{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+x{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}=&\\-{\frac {r{\sqrt {1-s'^{2}}}}{r'^{2}}}\sin(v'-v)&+{\frac {rr'{\sqrt {1-s'^{2}}}\sin(v'-v)}{\left[r^{2}-2rr'{\sqrt {1-s'^{2}}}\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\\&=-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e9352254d7e9f4a6a481fe52c54e2dd37ed67d)
la différence partielle
étant prise en ne faisant varier que
dans l’expression de
de l’article VII et en regardant
et
comme constants. On aura donc
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {c-m'\int dt{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ef18bf138d4b3b0ee4da980ab5a9c75ee2208c)