Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/165

151

THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

plus rapide. Ces deux inégalités sont d’ailleurs dans le rapport constant de $2n^{2}am'$ à $5n'^{2}a'm,$ rapport qui, comme on le verra ci-après, est environ celui de $3$ à $7.$ Ainsi le ralentissement apparent de Saturne est plus grand que l’accélération apparente de Jupiter dans la raison de $7$ à $3.$

XXIV.

Déterminons présentement les valeurs de $k,k'$ et de leurs différences ; pour cela, nous reprendrons la valeur de $\mathrm {R}$ de l’article VII

$\mathrm {R} ={\frac {r{\sqrt {1-s'^{2}}}}{r'^{2}}}\cos(v'-v)-{\frac {1}{\left[r^{2}-2rr'{\sqrt {1-s'^{2}}}\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}.$

Si l’on nomme $\Pi$ la distance du nœud de Saturne à la ligne fixe d’où l’on compte les $v\,;\ \gamma$ la tangente de l’inclinaison de l’orbite de Saturne sur celle de Jupiter, et $v'_{1}$ la longitude de Saturne comptée sur son orbite, on aura, aux quantités près de l’ordre $\gamma ^{3},$

$s'=\gamma \sin(v'_{1}-\Pi )$

et, aux quantités près de l’ordre $\gamma ^{4},$

$v'=v'_{1}-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\sin 2\Pi -{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\sin ^{a}(v'_{1}-\Pi )\,;$

d’où l’on tire, en négligeant les quantités de l’ordre $\gamma ^{4},$

${\begin{aligned}\mathrm {R} =&{\frac {r{\sqrt {1-s'^{2}}}}{r'^{2}}}\cos(v'-v)-{\frac {1}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'_{1}-v)+r'^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\\&-{\frac {1}{4}}rr'{\frac {\gamma ^{2}\left[\cos(v'_{1}+v-2\Pi )+\sin 2\Pi \sin(v'_{1}-v)-\cos(v'_{1}-v)\right]}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'_{1}-v)+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}$

Il est facile de s’assurer que les parties

${\frac {r{\sqrt {1-s'^{2}}}}{r'^{2}}}\cos(v'-v)$

et

$-{\frac {1}{4}}rr'\gamma ^{2}\left[\sin 2\Pi \sin(v'_{1}-v)-\cos(v'_{1}-v)\right]$