149
THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.
Pour déterminer ces inégalités, supposons que la partie de 
dépendante de l’angle 
soit exprimée par
sera ce que nous avons nommé 
dans l’article XXI. Ce coefficient du temps 
peut être, en effet, considéré comme étant très petit, puisqu’il n’est environ que 
de 
ou 
de 
Si l’on n’a égard qu’à cette partie de et qu’on la différentier uniquement par rapport à 
on aura
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}3am'\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} =-6am'\iint n^{2}dt^{2}&\left[\quad k\cos(5n't-2nt-5\varepsilon '-2\varepsilon )\right.\\&+\left.k'\sin(5n't-2nt-5\varepsilon '-2\varepsilon )\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f903c032d5c4466549ccd2242dd6128d748919b)
Les valeurs de 
et de 
sont, par l’article XII, fonctions des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites ; elles dépendent encore des positions de leurs nœuds et de leurs aphélies ; or toutes ces choses sont variables, et, vu la lenteur avec laquelle croît l’angle 
il n’est pas permis de les traiter comme constantes dans la double intégrale précédente. À la vérité, leurs périodes étant beaucoup plus longues que celles de l’angle on peut n’avoir égard qu’aux différences premières 
et 
et négliger les différences supérieures ; on trouvera ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}3am'\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} &\\={\frac {6am'n^{2}}{(5n'-2n)^{2}}}&\left[\left(k'-2{\frac {\cfrac {\partial k}{\partial t}}{5n'-2n}}\right)\sin(5n't-2nt-5\varepsilon '-2\varepsilon )\right.\\&+\left.\left(k+2{\frac {\cfrac {\partial k'}{\partial t}}{5n'-2n}}\right)\cos(5n't-2nt-5\varepsilon '-2\varepsilon )\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0334a01fc9c0692b807a995e4586bdb2802098fa)
C’est la quantité dont il faut corriger la longitude moyenne 
dans l’expression elliptique du rayon vecteur et de la longitude
