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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

comme l’on sait, à l’unité, il en résulte dans l’expression de la longitude le terme $3am'\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$ Ce terme est très important à considérer, en ce qu’il exprimerait l’équation séculaire de la planète $m$ si $\operatorname {d} \mathrm {R}$ renfermait un terme constant tel que $kndt,$ et, dans ce cas, l’équation séculaire serait exactement égale à ${\frac {3}{2}}am'kn^{2}t^{2}.$

XXII.

On peut parvenir très simplement au même résultat par la considération de l’équation $(a)$ de l’article IV ; en effet, si l’on néglige les quantités périodiques de l’intégrale $\int \operatorname {d} \mathrm {R} ,$ cette équation deviendra

$0={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {1+m}{a}}+2m'knt\,;$

mais, si l’on considère après le temps $t$ l’orbite de $m$ comme une ellipse dont le demi grand axe est $a+\delta a,$ on aura, après ce temps,

$0={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {1+m}{a+\delta a}}.$

En comparant donc cette équation à la précédente, on aura

${\frac {1+m}{a+\delta a}}={\frac {1+m}{a}}+2m'knt,$

d’où l’on tire, en négligeant $m$ vis-à-vis de l’unité et le carré de $\delta a,$

${\frac {-\delta a}{a}}=2m'aknt.$

Maintenant, si l’on nomme $\delta n$ la variation de $n$ correspondante à $\delta a,$ l’équation $n^{2}={\frac {1}{a^{2}}}$ donnera $-{\frac {\delta a}{a}}={\frac {2\delta n}{3n}},$ partant

$\delta n=3m'akn^{2}t\,;$

or le moyen mouvement de $m$ étant égal à $\int ndt,$ l’équation séculaire de ce mouvement est $\int \delta ndt\,;$ cette équation sera donc égale à ${\frac {3}{2}}m'akn^{2}t^{2},$ ce qui est conforme à ce qui précède.

La recherche des équations séculaires se réduit ainsi à voir si $\operatorname {d} \mathrm {R}$