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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

pour diviseur. En ne considérant donc que les termes qui ont ce diviseur, on aura

$\int ndtr\cos v\int \operatorname {d} \mathrm {R} ={\frac {3}{2}}ae\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$

L’expression précédente de $r$ donne, par la différentiation,

$dr=-{\frac {ae(1-e^{2})dv\sin v}{(1-e\cos v)^{2}}}=-{\frac {er^{2}dv\sin v}{a\left(1-e^{2}\right)}}\,;$

en substituant, au lieu de $r^{2}dv,$ sa valeur $a^{2}ndt\left(1-e^{2}\right),$ on aura

$dr=-{\frac {aendt\sin v}{\sqrt {1-e^{2}}}},$

ce qui donne

$ndtr\sin v=-{\frac {rdr{\sqrt {1-e^{2}}}}{ae}}.$

La fonction $\int ndtr\sin v\int \operatorname {d} \mathrm {R}$ devient ainsi

$-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{ae}}\int rdr\int \operatorname {d} \mathrm {R} \,;$

or on a

$\int rdr\int \operatorname {d} \mathrm {R} ={\frac {1}{2}}r^{2}\int \operatorname {d} \mathrm {R} -{\frac {1}{2}}\int r^{2}\operatorname {d} \mathrm {R} ,$

et il est clair qu’aucun de ces deux derniers termes ne peut avoir $\alpha ^{2}$ pour diviseur ; en n’ayant donc égard qu’aux termes qui ont ce diviseur, la formule (8) de l’article VII deviendra

${\frac {\delta r}{a}}=-{\frac {3ae\sin v}{\sqrt {1-e^{2}}}}\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$

Si l’on substitue, au lieu de ${\frac {ae\sin v}{\sqrt {1-e^{2}}}},$ sa valeur $-{\frac {dr}{ndt}},$ on aura

${\frac {\delta r}{a}}={\frac {3dr}{ndt}}\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$

Il suit de là que, si l’on n’a égard qu’aux termes qui ont $\alpha ^{2}$ pour diviseur, le rayon vecteur $r$ de la planète $m$ devient

$(r)+\left({\frac {dr}{ndt}}\right)3am'\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} ,$