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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

XX.

Reprenons les équations (C) de l’article III, auxquelles les éléments des orbites doivent satisfaire après un temps quelconque. Les deux premières donnent, en les différenciant et en négligeant les quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites,

${\begin{aligned}0=&{\frac {mda}{a^{2}}}+{\frac {m'da'}{a'^{2}}},\\0=&{\frac {mda}{\sqrt {a}}}\left(1-{\frac {1}{2}}e^{2}-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\right)+{\frac {m'da'}{\sqrt {a'}}}\left(1-{\frac {1}{2}}e'^{2}-{\frac {1}{2}}\theta '^{2}\right)\\&-2m{\sqrt {a}}(ede+\theta d\theta )-2m'{\sqrt {a'}}(e'de'+\theta 'd\theta ')\,;\end{aligned}}$

or on a, par les articles précédents,

${\begin{aligned}{\frac {de}{di}}\ =&\quad \ {\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}e'\sin(\varpi '-\varpi ),\\{\frac {d\theta }{di}}\ =&-(0,1)\theta '\sin(\mathrm {I'-I} ),\\{\frac {de'}{di}}=&\quad \ {\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}e\ \sin(\varpi -\varpi '),\\{\frac {d\theta '}{di}}=&-(1,0)\theta \ \sin(\mathrm {I-I'} )\,;\end{aligned}}$

on aura donc

${\begin{aligned}m{\sqrt {a}}&\left(e{\frac {de}{di}}+\theta {\frac {d\theta }{di}}\right)+m'{\sqrt {a'}}\left(e'{\frac {de'}{di}}+\theta '{\frac {d\theta '}{di}}\right)\\=&\quad \ \left(m{\sqrt {a}}{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}-m'{\sqrt {a'}}{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}\right)ee'\sin(\varpi '-\varpi )\\&-\left[m{\sqrt {a}}(0,1)-m'{\sqrt {a'}}(1,0)\right]\theta \theta ''\sin(\mathrm {I'-I} ).\end{aligned}}$

On a, par l’article XVI,

$(0,1)={\frac {m'n\mathrm {T} }{4}}a^{2}a'(a,a')'={\frac {m'\mathrm {T} }{4{\sqrt {a}}}}aa'(a,a')',$

à cause de $n^{2}={\frac {1}{a^{3}}}\,;$ on aura pareillement

$(1,0)={\frac {m\mathrm {T} }{4{\sqrt {a'}}}}aa'(a,a')'$