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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

est aisé de voir que l’on a

$\gamma ={\sqrt {(p'-p)^{2}+(q'-q)^{2}}}\,;$

ce qui donne, en substituant, au lieu de $p,p',q,q',$ leurs valeurs précédentes

$\gamma =\mathrm {P'-P} ,$

d’où il suit que, dans tous les changements qu’éprouve la position des orbites, leur inclinaison respective est constante.

Si l’on nomme \delta\theta, $\delta \theta ,\delta \mathrm {I} ,\delta \theta ',\delta \mathrm {I} '$ les variations des inclinaisons et des nœuds, correspondantes à $\delta p,\delta q,\delta p',\delta q',$ on trouvera, comme dans l’article XVIII,

${\begin{aligned}\delta \theta \ =&-(0,1)i\theta '\sin(\mathrm {I} '-\mathrm {I} ),\\\delta \mathrm {I} \ =&-(0,1)i\left[1-{\frac {\theta '}{\theta }}\cos(\mathrm {I} '-\mathrm {I} )\right],\\\delta \theta '=&-(1,0)i\theta \sin(\mathrm {I} -\mathrm {I} '),\\\delta \mathrm {I} '=&-(1,0)i\left[1-{\frac {\theta }{\theta '}}\cos(\mathrm {I} -\mathrm {I} ')\right].\end{aligned}}$

Soient ${\frac {d\theta }{di}},{\frac {d\mathrm {I} }{di}},{\frac {d\theta '}{di}},{\frac {d\mathrm {I} '}{di}}$ les variations annuelles de $\theta ,\mathrm {I} ,\theta ',\mathrm {I} '$ à l’époque où l’on fixe l’origine des i, et ${\frac {d\theta _{1}}{di}},{\frac {d\mathrm {I} _{1}}{di}},{\frac {d\theta '_{1}}{di}},{\frac {d\mathrm {I} '_{1}}{di}}$ ces mêmes variations mille ans avant cette époque, on aura

${\begin{aligned}\delta \theta \ =&i{\frac {d\theta }{di}}\ +{\frac {i^{2}}{2000}}\left({\frac {d\theta }{di}}\ \,-{\frac {d\theta _{1}}{di}}\right),\\\delta \mathrm {I} \ \ =&i{\frac {d\mathrm {I} }{di}}\,\ +{\frac {i^{2}}{2000}}\left({\frac {d\mathrm {I} }{di}}\,\ -{\frac {d\mathrm {I} _{1}}{di}}\right),\\\delta \theta '=&i{\frac {d\theta '}{di}}+{\frac {i^{2}}{2000}}\left({\frac {d\theta '}{di}}-{\frac {d\theta '_{1}}{di}}\right),\\\delta \mathrm {I} '\,=&i{\frac {d\mathrm {I} '}{di}}+{\frac {i^{2}}{2000}}\left({\frac {d\mathrm {I} '}{di}}\ -{\frac {d\mathrm {I} '_{1}}{di}}\right),\end{aligned}}$

et ces valeurs pourront s’étendre à plus de deux mille ans auparavant et à mille ou douze cents ans après l’époque choisie.