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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

tions suivantes :

$\mathrm {\frac {M'}{M}} ={\frac {(0,1)-f}{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}},\qquad \mathrm {\frac {N'}{N}} ={\frac {(0,1)-f'}{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}}\,;$

elles n’équivaudront, par conséquent, qu’à deux arbitraires ; mais, en y joignant les deux constantes ϐ et ϐ’, on aura les quatre arbitraires que doivent renfermer les expressions de $h,h',l,l'.$ On déterminera facilement ces constantes au moyen des excentricités $e$ et $e'$ des orbites et des longitudes $\varpi$ et $\varpi '$ de leurs aphélies à une époque donnée, en observant que

$h=e\sin \varpi ,\quad l=e\cos \varpi ,\quad h'=e'\sin \varpi ',\quad l'=e'\cos \varpi '.$

On aura ensuite les excentricités et la position des aphélies pour un temps quelconque, au moyen des formules

${\begin{array}{ll}e={\sqrt {h^{2}+l^{2}}},&\qquad e'={\sqrt {h'^{2}+l'^{2}}},\\\operatorname {tang} \varpi ={\cfrac {h}{l}},&\qquad \operatorname {tang} \varpi '={\cfrac {h'}{l'}}.\end{array}}$

XVIII.

Il est beaucoup plus simple, pour les usages astronomiques, de considérer les variations différentielles des excentricités et de la position des aphélies. Pour cela, nommons $\delta e$ et $\delta \varpi$ les variations correspondantes à $\delta l$ et $\delta h\,;$ les expressions finies de $h$ et de $l$ donneront

${\begin{aligned}\delta h=&\delta e\sin \varpi +e\delta \varpi \cos \varpi ,\\\delta l\ =&\delta e\cos \varpi -e\delta \varpi \sin \varpi ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\delta e=&\delta h\sin \varpi +\delta l\cos \varpi ,\\e\delta \varpi =&\delta h\cos \varpi -\delta l\sin \varpi \,;\end{aligned}}$

mais on a, par les articles précédents,

${\begin{aligned}\delta h=&\quad \ (0,1)il-{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}il',\\\delta l\ =&-(0,1)ih+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}ih'.\end{aligned}}$