Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/149

135

THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

XVII.

Ces quatre équations différentielles renferment toute la théorie des variations séculaires des excentricités et des aphélies des deux orbites. Pour les intégrer, on supposera

${\begin{alignedat}{2}h\ =&\mathrm {M} \ \sin(fi+{\text{ϐ}}),&l\ =&\mathrm {M} \ \cos(fi+{\text{ϐ}}),\\h'=&\mathrm {M} '\sin(fi+{\text{ϐ}}),\qquad &l'=&\mathrm {M} '\cos(fi+{\text{ϐ}}).\end{alignedat}}$

En substituant ces valeurs dans les équations différentielles précédentes, on aura celles-ci

${\begin{aligned}0=&\mathrm {M} \ f-(0,1)\mathrm {M} \ +{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}\mathrm {M} ',\\0=&\mathrm {M} 'f-(1,0)\mathrm {M} '+{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}\mathrm {M} ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$\mathrm {\frac {M'}{M}} ={\frac {(0,1)-f}{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}}={\frac {\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}{(1,0)-f}}$

et, par conséquent,

$f={\frac {(1,0)+(0,1)\pm {\sqrt {\left[(1,0)+(0,1)\right]^{2}+4{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}}}}{2}}.$

On voit ainsi que les deux valeurs de $f$ sont réelles, puisque le produit ${\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}$ est nécessairement positif ; les quantités $h,h',l,l'$ ne renferment donc ni arcs de cercle ni exponentielles, du moins lorsque $n$ et $n'$ ont le même signe, c’est-à-dire lorsque les planètes tournent dans le même sens, ce qui est le cas de notre système planétaire.

Soient $f$ et $f'$ les deux valeurs de $f\,;$ on aura, par la nature des équations linéaires,

${\begin{aligned}h\ =&\mathrm {M} \ \sin(fi+{\text{ϐ}})+\mathrm {N} \ \sin(f'i+{\text{ϐ}}'),\\l\,\ =&\mathrm {M} \ \cos(fi+{\text{ϐ}})+\mathrm {N} \ \cos(f'i+{\text{ϐ}}'),\\h'=&\mathrm {M} '\sin(fi+{\text{ϐ}})+\mathrm {N} '\sin(f'i+{\text{ϐ}}'),\\l'\ =&\mathrm {M} '\cos(fi+{\text{ϐ}})+\mathrm {N} '\cos(f'i+{\text{ϐ}}').\end{aligned}}$

Les quatre arbitraires $\mathrm {M,N,M',N'}$ auront entre elles les deux rela-