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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

dans la théorie des perturbations de $m'$ par l’action de $m,$ deviennent

${\begin{aligned}\mathrm {A} ^{(1)}=&{\frac {a'}{a^{2}}}-{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)},\\\mathrm {L} ^{(0)}=&{\frac {1}{a'^{3}}}b_{\frac {3}{2}}^{(0)}-{\frac {2}{a^{3}}}.\end{aligned}}$

Dans cette dernière théorie, les différences de $\mathrm {A} ^{(i)},$ au lieu d’être prises relativement à la quantité $a,$ le sont par rapport à $a'\,;$ mais on peut ramener ces différences les unes aux autres, en observant que $\mathrm {A} ^{(i)}$ étant une fonction homogène en $a$ et $a'$ de la dimension $-1,$ on a, par la nature de ce genre de fonctions,

$a'{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a'}}=-\mathrm {A} ^{(i)}-a{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}},$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}a'\ {\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a'\partial a}}=&-2{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}-a{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{2}}},\\a'^{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a'^{2}}}=&\quad \ 2\mathrm {A} ^{(i)}+4a{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}+a^{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{2}}},\\a'^{2}{\frac {\partial ^{3}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a'^{2}\partial a}}=&\quad \ 6{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}+6a{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{2}}}+a^{2}{\frac {\partial ^{3}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{3}}},\\a'^{3}{\frac {\partial ^{3}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a'^{3}}}=&-6\mathrm {A} ^{(i)}-18a{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}-9a^{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{2}}}--a^{3}{\frac {\partial ^{3}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{3}}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

ainsi $\mathrm {A} ^{(i)}$ et ses différences relatives à $a$ ayant été déterminées dans le calcul des perturbations de $m$ par l’action de $m',$ on aura facilement ses différences relatives, soit à la seule quantité $a,$ soit aux deux quantités $a$ et $a'.$

XVI.

Des inégalités séculaires de Jupiter et de Saturne.

Un des objets les plus importants de la théorie des planètes est celui de leurs inégalités séculaires. On a vu, dans les articles précédents, que les intégrations introduisent, dans l’expression des coordonnées