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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

en différentiant encore, on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{3}b_{s}^{(i)}}{\partial \alpha ^{3}}}=&{\frac {i+(i+2s)\alpha ^{2}}{\alpha \left(1-\alpha ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}b_{s}^{(i)}}{\partial \alpha ^{2}}}+2\left[{\frac {i+2s}{\alpha ^{2}}}-{\frac {2(i+s)\left(1-3\alpha ^{2}\right)}{\alpha ^{2}\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\right]{\frac {\partial b_{s}^{(i)}}{\partial \alpha }}\\&+\left[{\frac {4(i+s)\left(1-3\alpha ^{2}+6\alpha ^{4}\right)}{\alpha ^{3}\left(1-\alpha ^{2}\right)^{3}}}-{\frac {2(i+2s)}{\alpha ^{3}}}\right]b_{s}^{(i)}\\&-{\frac {2(i-s+1)}{1-\alpha ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}b_{s}^{(i+1)}}{\partial \alpha ^{2}}}-{\frac {8(i-s+1)\alpha }{(1-\alpha ^{2})^{2}}}{\frac {\partial b_{s}^{(i+1)}}{\partial \alpha }}\\&-{\frac {4(i-s+1)\left(1+3\alpha ^{2}\right)}{(1-\alpha ^{2})^{3}}}b_{s}^{(i+1)}.\end{aligned}}$

On voit ainsi que, pour connaître les valeurs de $b_{s}^{(i)}$ et de ses différences successives, il suffit de connaître les deux quantités $b_{s}^{(0)}$ et $b_{s}^{(1)}.$ On déterminera facilement ces deux quantités de la manière suivante.

XIV.

Si l’on nomme $c$ le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on pourra mettre l’expression de $\lambda ^{-s}$ sous cette forme

$\lambda ^{-s}=\left(1-\alpha c^{\theta {\sqrt {-1}}}\right)^{-s}\left(1-\alpha c^{-\theta {\sqrt {-1}}}\right)^{-s}.$

En développant le second membre de cette équation par rapport aux puissances de $c^{\theta {\sqrt {-1}}}$ et de $c^{-\theta {\sqrt {-1}}},$ les deux exponentielles $c^{i\theta {\sqrt {-1}}}$ et de $c^{-i\theta {\sqrt {-1}}}$ auront le même coefficient que nous désignerons par $\mu .$ La somme des deux termes $\mu c^{i\theta {\sqrt {-1}}}$ et de $\mu c^{-i\theta {\sqrt {-1}}}$ est $2\mu \cos i\theta \,;$ ce sera la valeur de $b_{s}^{(i)}\cos i\theta \,:$ on aura donc $b_{s}^{(i)}=2\mu .$

Maintenant l’expression précédente de $\lambda ^{-s}$ est égale au produit des deux séries

${\begin{aligned}&1+s\alpha c^{\ \ \theta {\sqrt {-1}}}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}c^{\ \ 2\theta {\sqrt {-1}}}+\ldots ,\\&1+s\alpha c^{-\theta {\sqrt {-1}}}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}c^{-2\theta {\sqrt {-1}}}+\ldots .\end{aligned}}$

En multipliant donc ces deux séries l’une par l’autre, on aura, dans le cas de $i=0,$

$\mu =1+s^{2}\alpha ^{2}+\left[{\frac {s(s+1)}{1.2}}\right]^{2}\alpha ^{4}+\ldots ,$