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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

Ces deux expressions de $b_{s}^{(i)}$ et de $b_{s}^{(i+1)}$ donnent

$(b)\qquad \qquad b_{s+1}^{(i)}={\frac {{\cfrac {i+s}{s}}\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s}^{(i)}-2{\cfrac {i-s+1}{s}}\alpha b_{s}^{(i+1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\,;$

on aura donc, au moyen de cette formule, les valeurs de $b_{s+1}^{(0)},b_{s+1}^{(1)},b_{s+1}^{(2)},\ldots$ lorsque celles de $b_{s}^{(0)},b_{s}^{(1)},b_{s}^{(2)},\ldots$ seront connues.

Nommons, pour abréger, $\lambda$ la fonction $1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\,;$ si l’on différentie par rapport à $\alpha$ l’équation

$\lambda ^{-s}={\frac {1}{2}}b_{s}^{(0)}+b_{s}^{(1)}\cos \theta +b_{s}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots ,$

on aura

$2s(\cos \theta -\alpha )\lambda ^{-s-1}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial b_{s}^{(0)}}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial b_{s}^{(1)}}{\partial \alpha }}\cos \theta +{\frac {\partial b_{s}^{(2)}}{\partial \alpha }}\cos 2\theta +\ldots \,;$

mais on a

$-\alpha +\cos \theta ={\frac {1-\alpha ^{2}-\lambda }{2\alpha }}.$

On aura donc

${\frac {s\left(1-\alpha ^{2}\right)}{\alpha }}\lambda ^{-s-1}-{\frac {s\lambda ^{-s}}{\alpha }}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial b_{s}^{(0)}}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial b_{s}^{(1)}}{\partial \alpha }}\cos \theta +\ldots ,$

d’où l’on tire généralement

${\frac {\partial b_{s}^{(i)}}{\partial \alpha }}={\frac {s\left(1-\alpha ^{2}\right)}{\alpha }}b_{s+1}^{(i)}-{\frac {sb_{s}^{(i)}}{\alpha }}.$

En substituant, au lieu de $b_{s+1}^{(i)},$ sa valeur, on aura

${\frac {\partial b_{s}^{(i)}}{\partial \alpha }}={\frac {i+(i+2s)\alpha ^{2}}{\alpha \left(1-\alpha ^{2}\right)}}b_{s}^{(i)}-{\frac {2(i-s+1)}{1-\alpha ^{2}}}b_{s}^{(i+1)}.$

Si l’on différentie cette équation, on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}b_{s}^{(i)}}{\partial \alpha ^{2}}}=&{\frac {i+(i+2s)\alpha ^{2}}{\alpha \left(1-\alpha ^{2}\right)}}{\frac {\partial b_{s}^{(i)}}{\partial \alpha }}+\left[{\frac {i+2s}{\alpha ^{2}}}-{\frac {2(i+s)(1-3\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\right]b_{s}^{(i)}\\&-{\frac {2(i-s+1)}{1-\alpha ^{2}}}{\frac {\partial b_{s}^{(i+1)}}{\partial \alpha }}-{\frac {4(i-s+1)}{(1-\alpha ^{2})^{2}}}b_{s}^{(i+1)}\,;\end{aligned}}$