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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

En multipliant en croix et en comparant les cosinus semblables, on trouve

$(a)\qquad \qquad b_{s}^{(i)}={\frac {(i-1)\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s}^{i-1}-(i+s-2)\alpha b_{s}^{i-2}}{(i-s)\alpha }}\,;$

on aura ainsi $b_{s}^{(2)},b_{s}^{(3)},\ldots$ lorsque l’on connaîtra $b_{s}^{(0)}$ et $b_{s}^{(1)}.$

Si l’on change $s$ en $+1$ dans l’expression précédente de

$\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s}$

on aura

$\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s-1}={\frac {1}{2}}b_{s+1}^{(0)}+b_{s+1}^{(1)}\cos \theta +b_{s+1}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots .$

En multipliant les deux membres de cette équation par

$1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}$

et en substituant ensuite, au lieu de $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s},$ sa valeur en série, on aura

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}&b_{s}^{(0)}+b_{s}^{(1)}\cos \theta +b_{s}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots \\&=\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)\left({\frac {1}{2}}b_{s+1}^{(0)}+b_{s+1}^{(1)}\cos \theta +\ldots \right),\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en comparant les cosinus semblables,

$b_{s}^{(i)}=\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s+1}^{(i)}-\alpha b_{s+1}^{(i-1)}-\alpha b_{s+1}^{(i+1)}.$

La formule (a) donne

$\alpha b_{s+1}^{(i+1)}={\frac {i\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s+1}^{(i)}-(i+s)\alpha b_{s+1}^{(i-1)}}{i-s}}\,;$

l’équation précédente deviendra ainsi

$b_{s}^{(i)}={\frac {2s\alpha b_{s+1}^{(i-1)}-s\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s+1}^{(i)}}{i-s}}.$

En changeant $i$ dans $i+1,$ on aura

$b_{s}^{(i+1)}={\frac {2s\alpha b_{s+1}^{(i)}-s\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s+1}^{(i+1)}}{i-s+1}},$

et, si l’on substitue au lieu de $b_{s+1}^{(i+1)}$ sa valeur, on aura

$b_{s}^{(i+1)}={\frac {s(i+s)\alpha \left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s+1}^{(i-1)}+s\left[2(i-s)\alpha ^{2}-i\left(1+\alpha ^{2}\right)^{2}\right]b_{s+1}^{(i)}}{(i-s)(i-s+1)\alpha }}.$