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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

nombre entier positif ou zéro ; $\mathrm {K}$ est une fonction des excentricités et des inclinaisons des orbites, de l’ordre $r.$ On peut juger par là de quel ordre est un terme qui dépend d’un angle donné : pour savoir, par exemple, dans la théorie de Jupiter et de Saturne, de quel ordre est le terme qui dépend de l’angle $5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon ,$ on mettra cet angle sous cette forme

$5(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+3nt+3\varepsilon \,;$

et, comme alors $r=3,$ il en résulte que le terme dont il s’agit dépend des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites.

XIII.

Pour réduire en nombres les résultats analytiques que nous venons de présenter, il faut déterminer numériquement les valeurs des quantités $\mathrm {A^{(0)},A^{(1)},A^{(2)},\ldots ,L^{(0)},L^{(1)}}$ et de leurs différences. La principale difficulté que présente leur formation tient au développement en série des radicaux

$\left[a^{2}-2aa'\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+a'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}$

et

$\left[a^{2}-2aa'\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+a'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}.$

Soit

${\frac {a}{a'}}=\alpha ,\qquad n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon =0,$

et considérons généralement la fonction $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s}.$ En la développant dans une suite de cosinus de l’angle et de ses multiples, on aura une expression de cette forme

$\left(1-2\alpha \cos \theta +a^{2}\right)^{-s}={\frac {1}{2}}b_{s}^{(0)}+b_{s}^{(1)}\cos \theta +b_{s}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots ,$

$b_{s}^{(0)},b_{s}^{(1)},\ldots$ étant des fonctions de $s$ et de $\alpha .$ Si l’on prend les différences logarithmiques des deux membres de cette équation, par rapport à la variable $\theta ,$ on aura

${\frac {-2s\alpha \sin \theta }{1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}}}={\frac {-b_{s}^{(1)}\sin \theta -2b_{s}^{(2)}\sin 2\theta -\ldots ,}{{\frac {1}{2}}b_{s}^{(0)}+b_{s}^{(1)}\cos \theta +b_{s}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots }}.$