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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

Supposons que, en réduisant $\mathrm {T}$ en série, on ait

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\sum \mathrm {L} ^{(i)}\cos \mathrm {I} (n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),$

le signe intégral $\sum$ se rapportant à toutes les valeurs entières positives et négatives de $i,$ sans en excepter la valeur $i=0\,;$ on aura

$\mathrm {L} ^{(-i)}=\mathrm {L} ^{(i)}.$

Cela posé, l’équation différentielle précédente deviendra

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}\delta s}{dt^{2}}}+n^{2}\delta s\\&+{\frac {1}{2}}a^{2}a'n^{2}\sum \left\{(p'-p)\mathrm {L} ^{(i)}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\right.\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \left.+(q-q')\mathrm {L} ^{(i)}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\right\},\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en intégrant,

${\begin{aligned}\delta s={\frac {1}{4}}a^{2}a'(p&-p')\mathrm {L} ^{(1)}nt\sin(nt+\varepsilon )+{\frac {1}{4}}a^{2}a'(q-q')\mathrm {L} ^{(1)}nt\cos(nt+\varepsilon )\\+{\frac {1}{2}}a^{2}a'n^{2}\sum &\left\{{\frac {(p'-p)\mathrm {L} ^{(i-1)}}{\left[n-i(n-n')\right]^{2}-n^{2}}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\right.\\&\left.+{\frac {(q-q')\mathrm {L} ^{(i-1)}}{\left[n-i(n-n')\right]^{2}-n^{2}}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\right\}.\end{aligned}}$

On doit observer que, dans cette valeur de $\delta s$ ainsi que dans les valeurs précédentes de $u,u_{1},\mathrm {V,V_{1}} ,$ le signe intégral $\sum$ s’étend à toutes les valeurs entières positives et négatives de $i,$ la seule valeur $i=0$ étant exceptée.

XII.

Rassemblons maintenant les résultats que nous venons de trouver. Nommons $(r)$ et $(v)$ les parties du rayon vecteur $r$ et de la longitude $v$ sur l’orbite qui dépendent du mouvement elliptique ; nommons ensuite $(s)$ la partie de la latitude $s$ que l’on trouve en supposant que la planète $m$ se meut sur le plan de son orbite primitive ; on aura

${\begin{aligned}r=&(r)+m'a(u+u_{1}),\\v=&(v)+m'\ \ (\mathrm {V+V_{1}} ),\\s=&(s)+m'\delta s.\end{aligned}}$

Ces expressions renferment toute la théorie des planètes, lorsqu’on néglige les carrés et les produits des masses perturbatrices, ainsi que