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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

Si, dans l’équation différentielle en $u,$ on substitue au lieu de $u$ sa valeur et que, pour simplifier, on fasse

${\begin{aligned}\mathrm {B} \quad =&a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a^{2}}},\\\\\mathrm {C} \quad =&a\mathrm {A} ^{(1)}-a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a}}-{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a^{2}}},\\\\\mathrm {D} ^{(i)}=&-{\frac {3n}{n-n'}}a\mathrm {A} ^{(i)}\\&+{\frac {i^{2}(n-n')\left[n+i(n-n')\right]-3n^{2}}{i^{2}(n-n')^{2}-n^{2}}}\left({\frac {2na\mathrm {A} ^{(i)}}{n-n'}}+a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{2}}},\\\\\mathrm {E} ^{(i)}=&{\frac {(i-1)(2i-1)n}{n-i(n-n')}}a\mathrm {A} ^{(i-1)}\\&\qquad \qquad +{\frac {i^{2}(n-n')-n}{n-i(n-n')}}a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i-1)}}{\partial a}}-{\frac {1}{2}}a^{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i-1)}}{\partial a^{2}}},\end{aligned}}$

cette équation différentielle donnera, après l’avoir intégrée,

${\begin{aligned}u_{1}=&f\sin(nt+\varepsilon )+f'\cos(nt+\varepsilon )\\&+{\frac {1}{2}}\left(h\mathrm {B} +h'\mathrm {C} \right)nt\cos(nt+\varepsilon )-{\frac {1}{2}}(l\mathrm {B} +l'\mathrm {C} )nt\sin(nt+\varepsilon )\\&+n^{2}\sum \left\{{\frac {h\mathrm {D} ^{(i)}+h'\mathrm {E} ^{(i)}}{\left[n-i(n-n')\right]^{2}-n^{2}}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\right]\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.{\frac {l\mathrm {D} ^{(i)}+l'\mathrm {E} ^{(i)}}{\left[n-i(n-n')\right]^{2}-n^{2}}}\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\right]\right\}.\end{aligned}}$

Le signe intégral $\sum$ s’étend, comme dans les expressions de $u$ et de $\mathrm {V} ,$ à toutes les valeurs entières positives et négatives de $i,$ la seule valeur $i=0$ étant exceptée, parce que nous avons fait sortir hors de ce signe les sinus et les cosinus de l’angle dans lequel $i=0\,;\ f$ et $f'$ sont deux constantes arbitraires introduites par les intégrations.

Si l’on substitue dans l’expression de $\mathrm {V} _{1},$ au lieu de $u$ et de $u_{1},$ leurs valeurs et que l’on fasse

${\begin{aligned}f\ =&h\left({\frac {2}{3}}a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{4}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right)+{\frac {h'}{4}}\left(a\mathrm {A} ^{(1)}-a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a}}-a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a^{2}}}\right),\\f'=&l\ \left({\frac {2}{3}}a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{4}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right)+{\frac {l'}{4}}\ \left(a\mathrm {A} ^{(1)}-a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a}}-a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a^{2}}}\right),\end{aligned}}$