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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

Dans ces équations : 1^o le signe intégral $\sum$ s’étend à toutes les valeurs entières de $i,$ la seule valeur $i=0$ étant exceptée, parce que nous avons fait sortir hors de ce signe les termes dans lesquels $i=0\,;$ 2^o la constante $g$ est une arbitraire ajoutée à l’intégrale $a\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$

Pour déterminer cette constante, nous supposerons que $nt$ représente le moyen mouvement sidéral de $m.$ Dans ce cas, le terme proportionnel au temps de l’expression de $\mathrm {V}$ doit disparaître. Cette condition donne

$g=-{\frac {1}{3}}a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a}}.$

Si l’on substitue cette valeur dans l’équation différentielle de $u,$ on aura, après les intégrations,

$u={\frac {1}{6}}a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {n^{2}}{2}}\sum \left[{\frac {a^{2}{\cfrac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}+{\cfrac {2na\mathrm {A} ^{(i)}}{n-n'}}}{i^{2}(n-n')^{2}-n^{2}}}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\right]\,;$

l’expression de $\mathrm {V}$ devient ainsi

$\mathrm {V} ={\frac {1}{2}}\sum$

$\left[{\frac {n^{2}}{i(n-n')^{2}}}a\mathrm {A} ^{(i)}+{\frac {2n^{3}\left(a^{2}{\cfrac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}+{\cfrac {2na\mathrm {A} ^{(i)}}{n-n'}}\right)}{i(n-n')\left[i^{2}(n-n')^{2}-n^{2}\right]}}\sin i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\right].$

Le signe $\sum$ s’étend, dans ces expressions, à toutes les valeurs entières, positives et négatives de $i,$ la seule valeur $i=0$ étant exceptée ; on peut ne l’étendre qu’aux seules valeurs positives de $i,$ mais alors il faut doubler les coefficients des sinus et des cosinus renfermés sous ce signe. Je n’ai point ajouté de constantes aux expressions de $u$ et de $\mathrm {V} ,$ parce que toutes les arbitraires du problème peuvent être censées renfermées dans les parties de $r$ et de $v$ qui dépendent du mouvement elliptique.

Ces valeurs fort simples de $u$ et de $\mathrm {V}$ renferment la théorie des inégalités du mouvement des planètes, lorsque l’on n’a égard qu’aux termes indépendants des excentricités et des inclinaisons des orbites, ce qui suffit dans plusieurs cas.

Nous observerons ici que, quand même la série représentée par l’in-