Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/130

116

THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

d’ailleurs, $\mathrm {R}$ étant fonction de $(v'-v),$ on a

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v'}}=-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}\,;$

et si dans ${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}$ on change $r$ en $a,\ r'$ en $a',\ v$ dans $nt+\varepsilon ,$ et $v'$ dans $n't+\varepsilon ',$ on aura

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}={\frac {1}{n-n'}}{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}.$

On aura, cela posé,

${\begin{aligned}\mathrm {R=S} &+a{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a}}\left[h\sin(nt+\varepsilon )+l\cos(nt+\varepsilon )\right]\\&-\left(\mathrm {S} +a{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a}}\right)\left[h'\sin(n't+\varepsilon ')+l'\cos(n't+\varepsilon ')\right]\\&+{\frac {1}{n-n'}}{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}\left[h\cos(nt+\varepsilon )-l\sin(nt+\varepsilon )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \quad \left.-h'\cos(n't+\varepsilon ')+l'\sin(n't+\varepsilon ')\right].\end{aligned}}$

IX.

Supposons maintenant, dans les équations (9) et (10) de l’article VII,

${\frac {\delta r}{a}}=u+u_{1},\qquad \delta v=\mathrm {V+V_{1}} ,$

$u$ et $\mathrm {V}$ étant les parties de ${\frac {\delta r}{a}}$ et de $\delta v$ indépendantes des excentricités des orbites, et $u_{1}$ et $\mathrm {V} _{1}$ étant les parties de ces mêmes quantités qui en dépendent. Si, dans ces équations, on compare les termes indépendants des excentricités, on formera les deux suivantes, en observant que $n^{2}={\frac {1}{a^{3}}},$

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u+2n^{2}g+{\frac {1}{2}}n^{2}a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a}}\\&+{\frac {n^{2}}{2}}\sum \left(a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}+{\frac {2na\mathrm {A} ^{(i)}}{n-n'}}\right)\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {V} =&3gnt+a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(0)}}{\partial a}}nt+{\frac {2du}{ndt}}\\&-{\frac {n}{2(n-n')}}\sum \left({\frac {3n}{n-n'}}a\mathrm {A} ^{(i)}+2a^{2}{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}\right){\frac {1}{i}}\sin i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).\end{aligned}}$