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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

Maintenant on a, par la théorie des suites,

${\begin{aligned}\mathrm {R=S} &+a\ \left[h\ \sin(nt\ +\varepsilon \ )+l\ \cos(nt\ +\varepsilon \ )\right]{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\\&+a'\left[h'\sin(n't+\varepsilon ')+l'\cos(n't+\varepsilon ')\right]{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r'}}\\&+\left[2h\ \cos(nt\ +\varepsilon \ )-2l\ \sin(nt\ +\varepsilon \ )\right]{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}\\&+\left[2h'\cos(n't+\varepsilon ')-2l'\sin(n't+\varepsilon ')\right]{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v'}},\end{aligned}}$

en ayant soin de changer, dans le second membre de cette équation, $r$ en $a,\ r'$ en $a',\ v$ dans $nt+\varepsilon ,$ et $v'$ dans $n't+\varepsilon ',$ l’expression $\mathrm {S}$ étant ce que devient $\mathrm {R}$ dans ces suppositions, en sorte que l’on a

$\mathrm {S} ={\frac {a}{a'^{2}}}\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )-{\frac {1}{\sqrt {a^{2}-2aa'\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+a'^{2}}}}.$

Supposons que, en développant cette fonction dans une suite ordonnée par rapport aux cosinus de l’angle $n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon$ et de ses multiples, on ait

$\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{(0)}+\mathrm {A} ^{(1)}\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+\mathrm {A} ^{(2)}\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+\ldots .$

On pourra mettre cette expression sous la forme suivante :

$\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}\sum \mathrm {A} ^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).$

dans laquelle $\sum$ est le signe intégral des différences finies qui, dans ce cas, se rapporte à la variable $i,$ et qui embrasse toutes ses valeurs entières, depuis $i=-\infty$ jusqu’à $i=\infty .$ On doit observer que $\mathrm {A} ^{(-i)}$ est égal à $\mathrm {A} ^{(i)},$ et qu’il suffit, par conséquent, de connaître les valeurs de $\mathrm {A} ^{(i)}$ relatives à $i$ positif.

Il est visible, par la nature de $\mathrm {R} ,$ que l’on a

$r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=a{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial a}}\,;$

de plus, cette quantité étant une fonction homogène en $r$ et $r'$ de la dimension $-1,$ on a

$r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}+r'{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r'}}=-\mathrm {R} \,;$