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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

Le calcul de la valeur approchée de $\delta r$ sera plus simple si, au lieu de la formule (8), on emploie l’équation différentielle $(b)$ de l’article IV, qui, à cause de $n^{2}a^{3}=1,$ peut être mise sous cette forme

(10)

$0={\frac {d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}+{\frac {n^{2}a^{3}}{r^{3}}}r\delta r+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}.$

Nous considérerons ainsi les équations (9) et (10), et nous négligerons d’abord les carrés et les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites.

VIII.

Dans ce cas, la valeur de $\mathrm {R}$ devient

$\mathrm {R} ={\frac {r\cos(v'-v)}{r'^{2}}}-{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}}}}.$

Pour développer cette fonction en série, nous observerons que, si l’on nomme $nt+\varepsilon$ la longitude moyenne de $m$ comptée de l’axe des $x\,;\ n't=\varepsilon '$ celle de $m'\,;\ \varpi$ la longitude de l’aphélie de $m,$ et $\varpi '$ celle de l’aphélie de $m',$ on a, par la nature du mouvement elliptique,

${\begin{aligned}r\ =&a\left[1+e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )\right],\\v\ =&nt+\varepsilon -2e\sin(nt+\varepsilon -\varpi ),\\r'=&a'\left[1+e'\cos(n't+\varepsilon '-\varpi ')\right],\\v'=&n't+\varepsilon '-2e'\sin(n't+\varepsilon '-\varpi ').\end{aligned}}$

Soient

${\begin{alignedat}{2}h\,\ =&e\sin \varpi ,&l\,\ =&e\cos \varpi ,\\h'=&e'\sin \varpi ',\qquad &l'=&e'\cos \varpi '.\end{alignedat}}$

On aura

${\begin{aligned}r\ =&a\ \left[1+h\sin(nt+\varepsilon )+l\cos(nt+\varepsilon )\right],\\v\ =&nt\ +\varepsilon +2h\cos(nt+\varepsilon )-2l\sin(nt+\varepsilon ),\\r'=&a'\left[1+h'\sin(n't+\varepsilon ')+l'\cos(n't+\varepsilon ')\right],\\v'=&n't+\varepsilon '+2h'\cos(n't+\varepsilon ')-2l'\sin(n't+\varepsilon ').\end{aligned}}$