Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/126

112

THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

quitte ce plan, on aura

${\frac {m'\delta z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\frac {m'\delta s}{\left(1-s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

mais on a

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=r{\sqrt {1-s^{2}}},$

partant

$m'\delta z={\frac {m'r\delta s}{1-s^{2}}}.$

Cela posé, si dans l’expression précédente de $z$ on substitue, au lieu de $z,$

${\frac {c'y-c''x}{c}}+m'\delta z\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {c'y-c''x}{c}}+{\frac {m'r\delta s}{1-s^{2}}}\,;$

si l’on observe ensuite que l’on a, par l’article III,

$c={\frac {\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}{\sqrt {1+\theta ^{2}}}},$

on trouvera

(7)

$\left\{{\begin{aligned}\delta s&={\frac {as\left(1-s^{2}\right){\sqrt {1+\theta ^{2}}}}{\sqrt {\left(1-e^{2}\right)}}}\int ndt\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}\right)\\&+{\frac {ay\left(1-s^{2}\right){\sqrt {1+\theta ^{2}}}}{r{\sqrt {\left(1-e^{2}\right)}}}}\int ndt\left(z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}-x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)\\&-{\frac {ax\left(1-s^{2}\right){\sqrt {1+\theta ^{2}}}}{r{\sqrt {\left(1-e^{2}\right)}}}}\int ndt\left(z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right),\end{aligned}}\right.$

les valeurs de $r,x,y,z,x',y',z'$ étant relatives au mouvement elliptique des planètes $m$ et $m'.$

VII.

Des perturbations de Jupiter et de Saturne, en portant l’approximation jusqu’aux premières puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites.

Les formules (5), (6), (7) suffisent pour déterminer le mouvement de la planète $m.$ Elles peuvent être employées avec avantage dans la recherche des perturbations des comètes par l’action des planètes.