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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

$c'$ et $c''$ étant deux arbitraires. En multipliant la première de ces deux intégrales par $y,$ et en l’ajoutant à la seconde multipliée par $-x,$ on aura

${\begin{aligned}z{\frac {xdy-ydx}{dt}}=c'y-c''x&+m'y\int dt\left(z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}-x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)\\&-m'x\int dt\left(z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)\,;\end{aligned}}$

on aura donc, en substituant au lieu de ${\frac {xdy-ydx}{dt}}$ sa valeur, et en négligeant les quantités de l’ordre $m^{2},$

${\begin{aligned}z={\frac {c'y-c''x}{c}}-{\frac {m'(c'y-c''x)}{c^{2}}}&\int dt\left(y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}-x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}\right)\\+{\frac {m'y}{c}}&\int dt\left(z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}-x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)\\-{\frac {m'x}{c}}&\int dt\left(z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right).\end{aligned}}$

L’équation $z={\frac {c'y-c''x}{c}}$ est celle d’un plan fixe que nous pouvons considérer comme le plan de l’orbite primitive de $m\,;$ en supposant donc que la planète ne quitte point ce plan, on aura

$z={\frac {c'y-c''x}{c}}\,;$

mais, comme le plan de l’orbite est variable, nous ferons

$z={\frac {c'y-c''x}{c}}+m'\delta z.$

La tangente de la latitude de $m$ sera ${\frac {z+m'\delta z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},$ et par conséquent l’accroissement de cette tangente, dû à ce que la planète quitte le plan de l’orbite primitive, sera ${\frac {m'\delta z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.$ Si l’on nomme $s$ le sinus de la latitude de $m,$ dans la supposition où cette planète resterait sur le plan de l’orbite primitive, et $m'\delta s$ l’accroissement de $s,$ dû à ce qu’elle